Формула повної ймовірності дозволяє обчислити ймовірність деякої події через умовні ймовірності цієї події в припущенні якихось гіпотез, а також ймовірностей цих гіпотез. Визначення

Нехай дано імовірнісний простір , і повна група подій , таких що . Хай подія, що цікавить нас. Тоді

.

Зауваження

Формула повної ймовірності також має наступну інтерпретацію. Нехай - випадкова величина, що має розподіл

.

Тоді

,

тобто апріорна ймовірність події рівна середньому його апостеріорної ймовірності.

Охарактеризувати фолмулу Баєса

Теоре́ма Ба́єса — одна з основних теорем теорії ймовірностей, яка визначає ймовірність настання події, коли відома тільки часткова інформація про подію. Названа на честь Томаса Баєса(/ beɪz / (1701-1761)). У теорії ймовірностей і статистиці, теорема Байеса (закон Байеса або ж правило Байєса) це теорема з двома різними інтерпретаціями. В байєсівсій інтерпретації, раціонально виразити, суб'єктивну ступінь віри у разі зміни показань для обліку. У "частотній інтерпретації", теорема стосується подання зворотної ймовірності двом подіям. В байєсівській інтерпретації, теорема Байеса має основоположне значення для байєсівської статистики та програми в полях у тому числі науки, техніки, медицини та права. Реалізація теореми Байеса для поновлення висновоків про ймовірності називається байєсівським висновком. який запропонував використовувати першу теорему оновити вірування. Тим не менш, історичні праці, опубліковані посмертно WAS. Його ідеї отримали обмежений вплив, поки не були відкриті заново і далі Top самостійно розроблений Лапласа, хто вперше опублікований сучасної формулюванні в історію 1812 Аналітична теорія ймовірностей. До другої половини 20-го століття, байєсовський інтерпретації залучила широке незгоду [правити] від спільноти математики займав частотної переглядів цілому [правити] Відмова Bayesianism як ненаукові. Тим не менш, у даний час широко прийнято. Це може бути викликано були розвиток обчислювальної техніки, які дозволили успішно Застосування Bayesianism до багатьох складних проблем

Формула Баєса:

де

— апріорна ймовірність гіпотези A;

— ймовірність гіпотези A при настанні події B (апостеріорна ймовірність);

— ймовірність настання події B при істинності гіпотези A;

— ймовірність настання події B.

Формула виводиться із визначення умовної ймовірності:

Наслідок

Важливим наслідком формули Баєса є формула повної ймовірності події, що залежить від декількох несуміснних гіпотез (і тільки від них).

— ймовірність настання події B, що залежить від гіпотез , якщо відомі їх ступені достовірності

 

Охарактеризувати схему Беруллі

Проводяться n дослідів, у кожному з яких може настати певна подія («успіх») з ймовірністю p (або не настати — «неуспіх» — q = 1 — p). Задача — знайти ймовірність отримати k успіхів у досліді.

Розв'язок:

Кількість успіхів — випадкова величина, що має розподіл Бернуллі.

Властивості

Нехай p — ймовірність успіху в схемі Бернуллі, q=1-p.Тоді найімовірнішою серед подій є подія , де можна знайти з нерівності .

 

18 охарактеризувати формулу Пуасона

Формула Пуассона дає приблизне значення імовірності в тому випадку, коли число випробувань n велике, а імовірність p=P(А) в кожному з окремих випробувань маленька, оскільки добуток цих чисел є заданим числом, незалежним від n, а значить , досить мале. Тоді , m =0, 1, 2,…, n. Сума всіх ймовірностей дорівнює:

Значить де . Одержано формулу Пуассона або закон Пуассона. Цей закон дає можливість наближати біноміальний розподіл при великій кількості випробувань і малій імовірності події А в кожному випробуванні.

Охарактеризувати локальну теорему Муавра Лапласса

Локальна теорема Муавра — Лапласа описує наближення нормального розподілу до біноміального розподілу. Є окремим випадком центральної граничної теореми.

Теорема

Якщо , тоді для k в -околі точки np, існує наближення^[1]

Гранична форма теореми стверджує, що

для

Можливо, формулювання стає ясним не відразу, проте практичний зміст теореми простий: при великих значеннях n імовірність спостерігаючи рівно m успіхів можна приблизно розраховувати за формулою: