Множественная корреляция. Двухфакторная модель.

В случаях прямолинейной корреляционной зависимости результирующего фактора у^ф_х1х2 (на

пример, объема реализованной продукции или продаж) от двух существенно влияющих на него факторов - х^ф₁ (затрат на повышение качества продукции) и

х^ф₂ (затрат на рекламу) уравнение линейной двухфакторной регрессии будет иметь вид у^ф_х1х2 = а₀ + а₁ х^ф₁ + а₂ х^ф₂ (9) (уравнение плоскости), которое на графике (в программе Mathad) имеет вид плоскости с углами наклона к осям координат (ОХ и ОZ) в зависимости от коэффициентов а₁ и а₂.

 

Рис.7.1. График уравнения плоскости у_х1х2 = а₀ + а₁х₁ + а₂х₂ (в системе Mathad).

Примечание: на плоскости по фактическим данным соединением координат (у^ф_(х1х2)i х^ф_1i х^ф_2i) строится эмпирическая ломаная линия, а по теоретическим данным по координатам (у^т_(х1х2)i х^ф_1i х^ф_2i) строится линия синтезированной модели регрессии у^т_х1х2 = а₀ + а₁х^ф₁ + а₂х^ф₂.

Для оценки типичности, практической значимости уравнения линейной двухфакторной регрессии (9) и его параметров а₀, а₁ и а₂ с целью применения их для моделирования и прогнозирования массовых экономических процессов хозяйственной деятельности используются МНК, коэффициенты корреляции – парной (r_ух1, r_ух2 ), частной (r_ух1(х2), r_ух2(1)), множественной (R), коэффициент детерминации (R²), коэффициенты эластичности (Э _1,2 = а₁,₂ / у_ср). Подставим в формулу МНК (3) уравнение (9) и получим

F_y=Σ(а₀ + а₁х₁^ф + а₂х₂^ф – у^ф)² →min (10). Дифференцируя (10) в частных производных по а₀, а₁, и а₁, получим систему уравнений

na₀ + а₁Σх₁ + а₂ Σх₂ = Σу

а₀ Σх₁ + а₁Σх²₁ + а₂ Σх₁х₂= Σух₁ (11)

а₀ Σх2 + а₁ Σ х₁х₂ + а₂ Σх²₂= Σух₂.

Для решения этой системы (определение а₀, а₁ и а₂) необходимо по данным статистического наблюдения (параллельные ряды фактических данных за 5-7 периодов – месяцев, кварталов, лет: у^ф₁, у^ф₂ ….. у^ф_n; х^ф ₁₁, х^ф ₁₂ ……. х^ф _1\n; х^ф ₂₁, х^ф ₂₂ ……. х^ф _2\n) составить аналитическую таблицу, рассчитать значение сумм в (11).

 

Статистика и показатели производительности труда на промышленном пред-приятии: определение и методы расчета - натуральный, трудовой, стоимостной

Производительность труда – это способность и результат трудовой деятельности человека по производству продукции, услуг, работ определенного количества и качества в единицу рабочего времени. Основными обобщающими статистическими показателями производительности труда являются трудоемкость (t) изготовления единицы конкретной продукции за определенное время (чел.-ч.) и выработка (w) – количество изготовленной продукции требуемого качества в единицу времени или на одного человека (шт. /ч. или руб. / чел.).

В натуральном методе производительность труда определяется показателем выработки (w_qi)определенного вида, количества и качества продукции (q_i) в единицу времени с определенной трудоемкостью: w_qi = qi / Т_i, шт /чел.ч.,

где Т_i – общие трудозатраты на изготовление продукции: Т_i = ti * qi. Между t и w существует зависимость t = 1 / w, w = 1 / t.

Изменение эффективности труда в текущем периоде (w_qi1) по сравнению с базисным (w_qi0) измеряется индексом производительности труда: I_wqi = w_qi1/w_qi0.

В трудовом методе производительность труда определяется трудоемкостью (t_i) изготовления продукции. Изменение эффективности труда (рост или снижение текущей трудоемкости t_i1 по отношению к базовой t_i0) оценивается индексом производительности труда работников - индивидуальным (однотоварным) индексом по отдельным видам (q_i) продукции i_qi = t_i0 / t_i1, сводным (многотоварным) агрегатным индексом: I _ti = ∑ t₀q₁ / ∑ t₁q₁

и среднеарифметическим индексом I _ti = ∑ i_qi t₁q₁ / ∑ t₁q₁ (t₀ = i_q t₁) или I_ti = ∑ i_qi Т_i1 / ∑Т_i1 по всей номенклатуре, ассортименту и физическому объему продукции (предполагается, что t₀ > t₁).

Трудовой метод (I _ti = ∑ t₀q₁ / ∑ t₁q₁) является классическим (каноническим) статистическим методом определения (расчета, измерения) и анализа производительности труда в различных отраслях и видах трудовой деятельности человека (работников), т.к. в этом методе (и его показателях) философия и экономическое содержание (сущность) роста производительности труда совпадают – для роста производительность труда в текущем (или в будущем) периоде по сравнению с прошлым периодом трудоемкость (затраты времени) изготовления продукции должна снижаться, т.е. должно выполняться условие: t₁ < t₀ (t₀ > t₁).

По разности числителя и знаменателя в индексах трудозатрат в трудовом методе определяют абсолютное изменение трудозатрат предприятия на производство и реализацию i-го вида продукции ∆t = t_i1 - t_i0 или продукции всего текущего товарооборота (∑p₁q₁) ∆T₁ = ∑ t₁q₁ / ∑ t₀q₁, что позволяет определить численность условно высвобождаемых работников (∆Ч_{усл высв}) при росте производительности труда или дополнительно необходимую численность (∆Ч_{пл ув}) при плановом увеличении объема выпускаемой продукции:

∆Ч_{усл высв} (∆Ч_{пл ув}) = ∆T₁ / Т_эфф, где Т_эфф = 1840 ч – годовой эффективный (режимный) фонд времени одного работника на предприятии.

В стоимостном методе показателем производительности труда работников является средняя выработка (w_срQр) одного работника (или рабочего) в объемах реализованной продукции (Q_р) за учетный период (час, день, месяц, год) w_срQр1р = Q_р / Ч_{ср сп ППП} * d_р,

где: Ч_{ср сп ППП} – среднесписочная численность работников предприятия, d_р – доля рабочих в общей численности персонала (ППП). Показателем роста (снижения) эффективности труда на предприятии в текущем периоде (w_срQр1) по сравнению с базовым (w_срQр0) в стоимостном методе является индекс производительности труда по средней выработке I w_срQр = w_срQр1 / w_срQр0.