Задача 1. Вычисление показателей вариации

Задача 1. Вычисление показателей вариации

Вычислите показатели вариации по каждой из выборок X, Y, Z:

· среднее арифметическое;

· моду;

· медиану;

· размах вариации;

· дисперсию;

· стандартное отклонение;

· среднее линейное отклонение;

· коэффициент вариации.

 

Решение:

Среднее значение ‑ средняя арифметическая простая:

где n ‑ объем выборки.

 

.

Например, если объем исследуемой совокупности n = 20, то номер медианы

Тогда медианой будет среднее из двух значений признака, стоящих в упорядоченном ряду под номерами 10 и 11:

Размах вариации ‑ разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

Среднее линейное отклонение:

Среднее квадратическое отклонение () представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней.

Формула расчета следующая:

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией (). Дисперсию используют не только для оценки вариации, но и при измерении взаимосвязей, для проверки статистических гипотез.

Она вычисляется по формуле

 

:

 

 

Аналогично рассчитаем показатели для выборок yи z:

 

 

Найдем среднее значение по У:

Мода по У:

 

Медиана по У:

Размах вариации ‑ разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

Среднее линейное отклонение по У:

Среднее квадратическое отклонение по У:

 

Дисперсия по У:

 

Коэффициент вариации:

 

 

Расчет показателей вариации.

Табл.3

№
	-83	145,7	21228,49
	-82	144,7	20938,09
	-77	139,7	19516,09
	-72	9,3	86,49
5	-68	130,7	17082,49
6	-61	123,7	15301,69
	-59	121,7	14810,89
	-47	109,7	12034,09
	-39	101,7	10342,89
	-39	101,7	10342,89
S	-627	1128,6	141684,1

 

Найдем среднее значение по Z:

 

Медиана по Z:

 

 

Размах вариации

Среднее квадратическое отклонение по Z:

Дисперсия по Z:

 

 

Среднее линейное отклонение по Z:

 

 

Коэффициент вариации:

 

 

Расчет показателей вариации.

Табл.4

№
	-83	27,9	778,41
	-75	19,9	396,01
	-67	11,9	141,61
	-63	7,9	62,41
5	-62	6,9	47,61
6	-57	1,9	3,61
	-51	4,1	16,81
	-46	9,1	82,81
	-33	22,1	488,41
	-14	41,1	1689,21
S	-551	152,8	3706,9

 

 

Задача 2. Построение ряда распределения

По каждой из выборок X, Y, Z:

• проведите группировку данных по интервалам равной длины;

• составьте вариационный ряд;

• вычислите абсолютные, относительные и накопленные частоты;

постройте полигон, гистограмму и кумуляту.

 

 

Решение:

 

 

Группировка данных и построение вариационного ряда.

Табл.5

xi		,%	,%
9..13,8
13,8..18,6
18,6..23,4
23,4..28,2
28,2..33
S			—

 

 

 

 

Рассчитаем по у:

Ход решения аналогичный расчетам по Х.

 

 

Группировка данных и построение вариационного ряда.

 

Табл.6

yi		,%	,%
-83..-72
-72..-61
-61..-50
-50..-39
S			—

 

 

 

 

 

Рис.5 Полигон распределения частот по выборке Y

 

 

 

 

Рассчитаем по z:

 

Ход решения аналогичный расчетам по Х.

 

 

Группировка данных и построение вариационного ряда.

Табл.7

Zi		,%	,%
-68..-55,75
-55,75..-43,5
-43,5..-31,25
-31,25..-19
S			—

 

 

 

 

 

 

Задача 3. Расчет параметров ряда распределения

По сгруппированным данным и графикам определите:

· среднее арифметическое;

· моду;

· медиану;

· первую и девятую децили;

· коэффициент децильной дифференциации.

 

 

Решение:

Среднее значение ‑ средняя арифметическая взвешенная:

 

Расчет среднего значения.

Табл.8

xi
9..13,8		11,4	22,8
13,8..18,6		16,2	16,2
18,6..23,4
23,4..28,2		25,8
28,2..33		30,6	30,6
S		-	219,6

 

Номер медианы нам известен из Задания 1.

N_Me = 5,5

Точное значение медианы для сгруппированных данных рассчитываем по формуле

где x_Me ‑ нижняя граница медианного интервала; h – величина медианного интервала; S_{Me –1} ‑ накопленная частота (частость) предмедианного интервала, f_Me ‑ частота (частость) медианного интервала.

 

 

Первая и девятая децили находятся по формулам:

 

где , ‑ начала интервалов, где находятся первая и девятая децили; , ‑ величины интервалов, где находятся первая и девятая децили; ‑ общая сумма частот (частостей); , ‑ суммы накопленных частот (частостей) интервалов, предшествующих тем, в которых находятся первая и девятая децили; , ‑ частоты (частости) интервалов, содержащих первую и девятую децили.

 

Коэффициент децильной дифференциации находится по формуле (K_D):

 

 

 

Рассчитаем по У:

 

Ход решения аналогичен, как при расчетах по Х.

 

 

Расчет среднего значения.

Табл.9

 

yi
-83..-72		-44,5	-133,5
-72..-61		-55,5	-111
-61..-50		-66,5	-133
-50..-39		-77,5	-232,5
Σ		-	-610

 

Найдем медиану для у:

 

Найдем первую и девятую децили по у:

Коэффициент децильной дифференциации

 

 

Рассчитаем по Z:

 

Ход решения аналогичен, как при расчетах по Х.

 

 

Расчет среднего значения.

Табл.10

zi
-68...-55,75		-25,125	-50,25
-55,75..-43,5		-37,375	-186,875
-43,5..-31,25		-49,625	-49,625
-31,25..-19		-61,825	-123,65
S		-	-410,4

 

Значение моды по сгруппированным данным также можно определить по формуле

 

 

Найдем медиану для z:

 

Найдем первую и девятую децили по z:

 

 

Коэффициент децильной дифференциации

 

 

Задача 6. Построение уравнения регрессии

Постройте уравнения регрессии Y(X), Z(X), Z(X) графическим способом.

Y(X):

Решение:

Линия регрессии представлена на графиках в Задании 5.

На линии регрессии выбираем две точки, ближе к краям диапазона значений.

Уравнение регрессии имеет вид .

 

Составляем систему уравнений ‑ два уравнения с двумя неизвестными:

 

; ;

 

Уравнение регрессии

 

Z(X):

; ;

Уравнение регрессии

 

Z(Y):

; ;

 

Уравнение регрессии

Задача 7. Вычисление линейных коэффициентов

Корреляции

 

Вычислите линейные коэффициенты корреляции , и . Сделайте вывод о тесноте линейной связи между признаками.

Решение:

Линейный коэффициент корреляции вычисляется следующим образом:

 

 

Вычислим коэффициент rxy:

 

 

Вычислим коэффициент rxz:

 

 

 

Вычислим коэффициент ryz:

 

 

При < 0,3 связь считается слабой, при 0,3 < < 0,7 – средней, при > 0,7 ‑ сильной, или тесной.

 

 

Корреляции

После определения коэффициентов корреляции , и . необходимо проверить их существенность с помощью T-критерия Стьюдента.

Решение:

 

Величина t -критерия имеет вид

где r – выборочный коэффициент корреляции; n – объем выборки.

 

Проверим существенность коэффициента корреляции rxy:

 

 

 

0,408<2,306, значит гипотеза о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю подтверждается с уровнем значимости 5 %. Аналогично .

 

11,28>2,306, значит гипотеза о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю опровергается с уровнем значимости 5 %.

 

 

Задача 1. Вычисление показателей вариации

Вычислите показатели вариации по каждой из выборок X, Y, Z:

· среднее арифметическое;

· моду;

· медиану;

· размах вариации;

· дисперсию;

· стандартное отклонение;

· среднее линейное отклонение;

· коэффициент вариации.

 

Решение:

Среднее значение ‑ средняя арифметическая простая:

где n ‑ объем выборки.

 

.

Например, если объем исследуемой совокупности n = 20, то номер медианы

Тогда медианой будет среднее из двух значений признака, стоящих в упорядоченном ряду под номерами 10 и 11:

Размах вариации ‑ разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

Среднее линейное отклонение:

Среднее квадратическое отклонение () представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней.

Формула расчета следующая:

Квадрат среднего квадратического отклонения называется дисперсией (). Дисперсию используют не только для оценки вариации, но и при измерении взаимосвязей, для проверки статистических гипотез.

Она вычисляется по формуле

 

:

 

 

Аналогично рассчитаем показатели для выборок yи z:

 

 

Найдем среднее значение по У:

Мода по У:

 

Медиана по У:

Размах вариации ‑ разность между максимальным и минимальным значениями признака в совокупности:

Среднее линейное отклонение по У:

Среднее квадратическое отклонение по У:

 

Дисперсия по У:

 

Коэффициент вариации:

 

 

Расчет показателей вариации.

Табл.3

№
	-83	145,7	21228,49
	-82	144,7	20938,09
	-77	139,7	19516,09
	-72	9,3	86,49
5	-68	130,7	17082,49
6	-61	123,7	15301,69
	-59	121,7	14810,89
	-47	109,7	12034,09
	-39	101,7	10342,89
	-39	101,7	10342,89
S	-627	1128,6	141684,1

 

Найдем среднее значение по Z:

 

Медиана по Z:

 

 

Размах вариации

Среднее квадратическое отклонение по Z:

Дисперсия по Z:

 

 

Среднее линейное отклонение по Z:

 

 

Коэффициент вариации:

 

 

Расчет показателей вариации.

Табл.4

№
	-83	27,9	778,41
	-75	19,9	396,01
	-67	11,9	141,61
	-63	7,9	62,41
5	-62	6,9	47,61
6	-57	1,9	3,61
	-51	4,1	16,81
	-46	9,1	82,81
	-33	22,1	488,41
	-14	41,1	1689,21
S	-551	152,8	3706,9