Розрахунок балок на міцність

При поперечному згині балки (, ) у її поперечних перерізах виникають нормальні та дотичні напруження.

Нормальні напруження в довільній точці перерізу визначаються за формулою

, (2)

де М(х) – згинальний момент в розглядуваному перерізів балки, значення якого беремо з епюри М(х); I_z – осьовий момент інерції перерізу відносно нейтральної осі ; – ордината точки перерізу, в якій визначається напружен­ня. Знак нормальних напружень визначається у відповідності до дії згинального моменту.

Рис. 5. Розполіл нормальних напружень по перерізу балки

Із формули (2) випливає, що нормальні напруження по висоті балки змінюються за лінійним законом, їх епюра показана на рис. 5.

У точках перерізу, найбільш віддалених від нейтральної осі , та в поперечному перерізі з найбільшим за абсолютною величиною згинальним моментом виникають найбільші нормальні напруження

, (3)

 

де W_z – осьовий момент опору перерізу.

Моменти інерції I_z і моменти опору W_z обчислюються за такими формулами, зокрема:

а) для прямокутного перерізу висотою h і шириною b

; (4)

б) для круглого перерізу діаметром d

. (5)

Моменти інерції та моменти опору прокатних профілів (двотавр, швелер) приведені у відповідних таблицях сортаментів.

 

 

Приклад розв'язання задачі

Виконати розрахунок на міцність і жорсткість статично визначеної двотаврової балки (рис.7, а), модуль пружності матеріалу якої дорівнює , допустиме напруження взяти [ ]=160 МПа. В ході розрахунку виконати наступне:

1. Визначити опорні реакції;

2. Побудувати епюру поперечних сил;

3. Побудувати епюру згинальних елементів;

4. Перевірити балку на міцність за найбільшими нормальними напруженнями, форма перерізу балки задається.

 

1. Визначення опорних реакцій.

З умов рівноваги балки маємо:

Перевірка:

Значення та напрямки реакцій показані на рис. 6, а.

 

Рис. 6. Розрахункова схема балки (а) і епюри поперечних сил (б),

згинальних моментів (в) та прогинів (г)

2. Побудова епюри поперечних сил.

Для окремих ділянок балки знаходимо:

а) ділянка І (0 ≤ х ≤ 1):

б) ділянка ІІ (1 ≤ х ≤ 3):

в) ділянка ІV (0 ≤ х ≤ 1):

г) ділянка ІІІ (1 ≤ х ≤ 3):

За обчисленими значеннями Q(x) будуємо епюру (див рис. 7, б).

 

3. Побудова епюри згинальних моментів.

Для окремих ділянок маємо:

а) ділянка І (0 ≤ х ≤ 1):

б) ділянка ІІ (1 ≤ х ≤ 3):

На цій ділянці поперечна сила змінює знак в точці де поперечна сила . У цій точці згинальний момент набуває екстремального значення:

.

У характерних точках ділянки значення згинального моменту:

;

в) ділянка ІV (0 ≤ х ≤ 1): ,

;

г) ділянка ІІІ (1 ≤ х ≤ 3):

,

.

За обчисленими значеннями згинальних моментів будуємо епюру, яка зображена на рис. 7, в.

 

4. Перевірка міцності балки за найбільшими нормальними напруженнями.

Для заданого перерізу згідно формули (10) будемо мати

.

Отже, необхідно визначити момент опору для заданого перерізу відносно осі z.

Даний поперечний переріз (рис. 7) має вертикальну вісь симетрії і тому центр ваги буде лежати на цій осі. Розбиваємо даний переріз на три фігури: прямокутник (позначений на рисунку номером 2) розміром см, та два прямокутних трикутники (позначені на рисунку номерами 1 та 3), симетрично розташовані відносно осі симетрії перерізу. Виберемо базову систему координат наступним чином: вісь співпадає з віссю симетрії перерізу, а вісь - горизонтальна і проходить через найнижчу точку перерізу.

 

Рис. 7

 

Площі отриманих фігур рівні:

;

.

Визначимо відносно базової системи координат положення центра ваги поперечного перерізу. Для цього визначимо координати центрів ваги фігур відносно базової системи координат:

;

.

Знайдемо координату :

.

 

На рисунку показано положення центра ваги - . Виберемо в цій точці центральну систему координат . Ця система координат є головною, оскільки вісь співпадає з віссю симетрії. Обчислимо координати центрів ваги всіх трьох частин фігури відносно цієї системи координат.

; ;

; .

Перевірка правильності обчислення координати центра ваги фігури.

Визначення головних центральних моментів інерції:

 

.

;

;

;

 

Визначення радіусів інерції перерізу:

Визначення моментів опору перерізу.

Відносно осі : . Найбільш віддаленими точками перерізу від осі є точки нижньої кромки перерізу. Тому .ю Таким чином:

.

 

Умова міцності виконується.