Для профессий и специальностей,

Сборник информационных

материалов к программе по дисциплине

«Математика»

Для профессий и специальностей,

подготавливаемых в колледже

Г. Череповец

Сборник информационных материалов к программе по математике для профессий и специальностей, подготавливаемых в колледже: Пособие по математике для студентов 1 и 2 курсов /Составитель: Ракова А.В., Дедюкова М.Н. - преподаватель математики /- Череповец: Череповецкий химико-технологический колледж, 2013.-33с.

Содержание

		стр
	Аннотация
	Пояснительная записка
1.	Тригонометрия
	1.1. Числовая окружность
	1.2. Основные тождества
	1.3. Таблица тригонометрических значений
	1.4. Формулы приведения
	1.5. Макеты числовых окружностей
	1.6. Знаки тригонометрических функций
	1.7. Простейшие тригонометрические уравнения и частные случаи
	1.8. Формулы сложения аргументов
	1.9. Формулы двойного угла
	1.10. Формулы сложения одноименных функций
	1.11. Формулы половинного угла
	1.12. Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму
2.	Производная. Применение производной
	2.1. Таблица производных
	2.2. Алгоритм составления уравнения касательной
	2.3. Геометрический смысл производной
	2.4. Схема исследования функции
	2.5. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
3.	Степени и корни
	3.1. Свойства корней и степеней
	3.2. Таблица степеней
	3.3. Алгоритм решения показательных неравенств
4.	Логарифмы
5.	Функции и графики функций
	5.1. Преобразование графиков функции
6.	Первообразная и интеграл
	6.1. Таблица первообразных
	6.2. Свойства неопределенных интегралов
	6.3. Вычисление площади криволинейной трапеции
7.	Теория вероятностей и математическая статистика
8.	Уравнения и неравенства
9.	Геометрия
	9.1. Многогранники
	9.2. Тела вращения
10.	Решение квадратного уравнения
11.	Четность и нечетность функций
12.	Формулы сокращенного умножения
13.	Теорема Пифагора. Соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника
14.	Таблица натуральных чисел от 10 до 99
15.	Список литературы

Аннотация

Сборник информационных материалов предназначен для студентов всех профессий и специальностей, подготавливаемых в колледже. Сборник поможет студентам быстро найти, восстановить в памяти и использовать на практике полученные сведения о том или ином понятии, алгоритме и свойстве, той или иной формуле, что позволит без затруднения решить любой пример или задачу.

 

 

Разработчик: Дедюкова Марина Николаевна - преподаватель математики первой квалификационной категории.

 

Рецензент: Громцева Людмила Алексеевна - преподаватель высшей квалификационной категории, заслуженный учитель РФ.

 

Рассмотрено и рекомендовано к использованию

на заседании ЦМК по ООД

№ протокола _______ от __________

Председатель _________ (Балдычева О.А.)

Пояснительная записка

Сборник информационных материалов содержит основной материал по программе «Математика»: математические понятия, формулы, свойства, алгоритмы. В сборнике материал, относящийся к какому-либо понятию, помещен компактно, в одном разделе. Это поможет студентам быстро получить все необходимые сведения об интересующем понятии, таким образом сборник поможет:

1. Быстро найти нужную информацию о том или ином понятии, свойстве, алгоритме, о той или иной формуле;

2. Повторить соответствующий материал при подготовке к уроку, зачету, контрольной работе, экзамену.

 

 

Тригонометрия

Числовая окружность

Если М(t) = М (х;у), то .

Основные тождества

sin^2α + cos^2α = 1 ( основное тригонометрическое тождество)	tgα · ctgα = 1
tgα =	ctgα=
1 + tg^2α =	1 + ctg^2α =

Формулы приведения

Функция
sin	cos	cos	- sin	sin
cos	- sin	sin	- cos	- cos
tg	- ctg	ctg	tg	- tg
ctg	- tg	tg	ctg	- ctg
Функция
sin	- cos	- cos	- sin	sin
cos	sin	- sin	cos	cos
tg	- ctg	ctg	- tg	tg
ctg	- tg	tg	- ctg	ctg

Макет №1 Макет №2

Знаки тригонометрических функций

Sin x cos x tg x ctg x

Простейшие тригонометрические уравнения и частные случаи

 

sin t = a, t = (-1) ^narcsin a + πn, n Частные случаи: sin t = 1 t = + 2πn, n sin t = - 1 t = - + 2πn, n sin t = 0 t = πn, n	cos t = a, t = ± arccos a + 2πn, n Частные случаи: сos t = - 1 t = π + 2πn, n cos t = 0 t = + πn, n cos t = 1 t = 2πn, n
tg t = a t = arctg a + πn, n Частные случаи: tg t = 1 t = + πn, n tg t = - 1 t = - + πn, n tg t = 0 t = πn, n	ctg t = a t = arcctg a + πn, n Частные случаи: ctg t = 1 t = + πn, n ctg t = - 1 t = + πn, n ctg t = 0 t = πn, n

Формулы сложения аргументов

Формулы двойного угла

sin2α = 2sinα cosα	cos2α = cos^2α – sin^2 α
cos2α = 2cos^2 α – 1 = 1 – 2sin^2 α

Формулы половинного угла

sinα = 2sin cos	cosα = cos^2– sin^2
cosα =2cos^2 – 1 = 1 – 2sin^2

Преобразование произведения тригонометрических функций в алгебраическую сумму

Таблица производных

(производная сложной функции)
Правила дифференцирования

 

Схема исследования функции

1. Область определения функции . Обозн.

2. Исследование функции на чётность и нечётность:

· если , то функция чётная

· если , то функция нечётная

· если оба условия не выполняются, то функция – ни чётная и ни нечётная

3. Определение точек пересечения с осью х:

4. Определение точек пересечения с осью y: ,

5. Промежутки возрастания и убывания функции:

· находим производную функции

· находим критические точки

· если на промежутке, то функция возрастает на этом промежутке

· если на промежутке, то функция убывает на этом промежутке

6. Точки экстремума: , .

7. Контрольные точки.

8. Построение графика функции .

Наибольшее и наименьшее значения функции y = f(x)

на отрезке [ а; в ]

1. Область определения функции . Обозн. .

2. Находим производную функции .

3. Находим критические точки .

4. Находим , , если , то находим и .

5. Выбираем из полученных значений наибольшее и наименьшее.

6. Ответ: ; .

Степени и корни

Свойства степеней	Свойства корней
Замечание: 1. 2.

 

 

Уравнение вида имеет решения:

1.

2. , то

3. корней нет

Таблица степеней

степень
2 ^n
3 ^n
4 ^n
5 ^n
6 ^n
7 ^n
8 ^n
9 ^n
10 ^n

Логарифмы

где

определение логарифма

 

основное логарифмическое тождество

 

Свойства логарифмов

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

 

 

Функции и графики функций

Графики известных функций

График	График	n-положительное, чётное, натуральное число
n = 0	n=1
График	График	График
n-положительное, нечётное, натуральное число	n-отрицательное, нечётное, целое число	n-отрицательное, чётное, целое число

 

Графики степенной функции с дробным показателем

График показательной функции

основание а>1, функция возрастающая	основание 0<а<1, функция убывающая

 

График логарифмической функции

основание а>1, функция возрастающая	основание 0<а<1, функция убывающая

График функции вида

n-чётное	n-нечётное

Преобразование графика функции y = f(x)

f(x)+A	Параллельный перенос графика по оси у на А единиц: вверх, если А > 0, вниз, если А < 0.
f(x-B)	Параллельный перенос графика вдоль оси х на В единиц: вправо, если В > 0, влево, если В < 0. (подсказка: решить уравнение х - В = 0, где х = В, затем определять знак числа В и направление переноса)
C ∙ f(x)	Умножение каждой ординаты у графика функции на число С
f(D∙x)	Деление каждой абсциссы х графика функции на число D
- f(x)	«Зеркальное» отображение графика функции относительно оси х (подсказка: смотри пункт 3)

Первообразная и интеграл

Таблица первообразных

- функция	- общий вид первообразных функции

Неопределенный интеграл .

Теория вероятностей и

Математическая статистика

Факториал .

Перестановки – комбинация из n элементов по n элементов, где отличается только порядок их следования.

.

Размещения – из n элементов выбирается k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом или порядком их следования.

- с повторениями; - без повторений.

Сочетания – число комбинаций из n элементов по k элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом, порядок не важен, важен состав.

 

Бином Ньютона

Треугольник Паскаля

Теорема Бернулли

Пусть - вероятность наступления ровно k «успехов» в n независимых повторениях одного и того же испытания. Тогда

,

где p – вероятность «успеха», а - вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Уравнения и неравенства

 

1. Показательное уравнение где равносильно уравнению

2. Логарифмическое уравнение , где равносильно системе .

3. Показательное неравенство вида равносильно:

а) если то

б) то

4. Логарифмическое неравенство вида равносильно системе неравенств:

а) если то ;

б) то .

5. Иррациональное неравенство вида:

а) равносильно системе неравенств ;

б) равносильно совокупности систем неравенств

 

Геометрия

Многогранники

	Боковая поверхность	Полная поверхность	Объём
Прямая призма	где периметр основания, Н – высота призмы		где площадь основания, Н – высота призмы
Параллелепипед     a   b c
Куб   а
Правильная пирамида	где периметр основания, l – апофема		где площадь основания, Н – высота пирамиды
Тела вращения
	Боковая поверхность	Полная поверхность	Объём
Цилиндр R H	где R – радиус основания, Н – высота цилиндра	где
Конус	где R – радиус основания, l – образующая конуса	где	где H – высота конуса
Шар	------

 

Решение квадратного уравнения	D>0 – два корня: D<0 - нет корней D=0 – один корень:
Разложение квадратного трехчлена на множители
Четность, нечетность функций	1. 2. f(-x)=f(x) –четная функция, симметрия относительно оси OY 3. f(-x)= -f(x)–нечетная функция, симметрия относительно начала координат
Формулы сокращенного умножения
	разность квадратов
	квадрат разности
	квадрат суммы
	куб суммы
	куб разности
	разность кубов
	сумма кубов

Теорема Пифагора B     а с c^2=a^2+b^2 C A b

Соотношение сторон и углов прямоугольного треугольника

Таблица квадратов натуральных чисел от 10 до 99

десятки	единицы

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. Ч. 1. учебник для общеобразовательных учреждений – М.: Мнемозина,2011.

2. Мордкович А.Г., Суходонский А.М. Справочник школьника по математике,10-11. Алгебра и начала анализа. – М.: Аквариум,1997.

3. Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студентов образовательных учреждений среднего профессионального образования – М.:Академия,2012.

 

Сборник информационных