Классификация кривых 2-го порядка.

Кривая второго порядка — геометрическое место точек, декартовы прямоугольные координаты которых удовлетворяют уравнению вида

в котором по крайней мере один из коэффициентов отличен от нуля.

 

Классификация кривых второго порядка:

Невырожденные кривые

Кривая второго порядка называется невырожденной, если Могут возникать следующие варианты:

§ Невырожденная кривая второго порядка называется центральной, если

§ эллипс — при условии D > 0 и Δ I < 0;

§ частный случай эллипса — окружность — при условии

§ I ² = 4 D или a ₁₁ = a ₂₂, a ₁₂ = 0;

§ мнимый эллипс (ни одной вещественной точки) — при условии Δ I > 0;

§ гипербола — при условии D < 0;

§ Невырожденная кривая второго порядка называется нецентральной, если Δ I = 0

§ парабола — при условии D = 0.

Вырожденные кривые

Кривая второго порядка называется вырожденной, если Δ = 0. Могут возникать следующие варианты:

§ вещественная точка на пересечении двух мнимых прямых (вырожденный эллипс) — при условии D > 0;

§ пара вещественных пересекающихся прямых (вырожденная гипербола) — при условии D < 0;

§ вырожденная парабола — при условии D = 0:

§ пара вещественных параллельных прямых — при условии B < 0;

§ одна вещественная прямая (две слившиеся параллельные прямые) — при условии B = 0;

§ пара мнимых параллельных прямых (ни одной вещественной точки) — при условии B > 0.

Эллипсоид. Канон ур-ие. Сечения. Эллипсоиды вращения.

-Сечение плоскостью xOy

- Сечения эллипсоида координатными плоскостями

-эллипсоид вращения

 

a,b,c>0 – полуоси;

1) xOy: z=0;

2) xOz: y=0;

 

3) yOz: x=0;

4) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси меньше);

б) |h|>|c| - пустое множество

в) |h|=|c| две точки (0,0,c) и (0,0,-c)

Вращение: вращать эллипс вокруг Ox: или Oy:

 

Гипербалоиды

Однополостный:

- сечение однополосного гиперболойда 2-мя плоскостями

- сечение однополосного гиперболойда

-однополосный вращение

1) yOz:

2) xOz:

3) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси больше);

Прямолинейной образующей поверхности назовем прямую целиком лежащую на поверхности. Теорема: через каждую точку однополостного гипербалоида проходят две прямолинейных образующих. Д-во: ; ; - ур-ия двух пл-стей (первая прямая); - вторая прямая

Вращение гиперболы вокруг Oz:

Двухполостный:

- Сечения двуполостного гиперболоида плоскостью xOz

-двуполосный гиперболоид

1) yOz: - гипербола с действ осью z и мнимой у

2) xOz: - гипербола с действ осью z и мнимой х

 

3) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси больше);

б) |h|<|c| - пустое множество

в) |h|=|c| - 2 точки (0,0,c) и (0,0,-c)

Вращение гиперболы вокруг Oz:

 

 

-двуполосный вращение

 

Конус.

1) - две прямые

2) - две прямые

3) ; а) эллипс с полуосями (чем |h| больше, тем полуоси больше);

б) h=0 – 1 точка (0,0,0) – вершина

ЗЫ Конус – асимптотическая поверхность для гипербалоидОВ

 

 

Параболоиды

Эиптический

а - эллиптический;

- Сечения эллиптического параболоида координатными плоскостями

1) - парабола

1) - парабола

3) а) h<0 – беск множ-во

б) h=0 – 1 тчк (0,0,0)

в) h>0 эллипс с полуосями

-Дополнительные сечения параболоида

-параболойд вращения

 

Гипербалический

б - гиперболический

 

-Изображение гиперболического параболоида с помощью сечений

 

1) - парабола ветви вниз

1) - парабола ветви вверх

3) а) h<0 – гипербола с действ осью у и мнимой х

б) h=0: - две прямые

в) h>0 гипербола с действ осью х и мнимой у

Теорема: Через каждуйю точку гиперболич параб проходят 2 прямые лежащ на нем. Д-во: ; - перв прям и

 

Цилиндры

Цилиндром наз поверхность, которая получ при движении прямой в простр не меняющей своего напрв. Если данная прямая параллельна Oz, то цилиндр опред ур-ием сечения xOy, т.е. z=0

Эллиптический

Изображение эллиптического цилиндра с помощью сечений

 

Гипербалический

Изображение гипербоического цилиндра с помощью сечений

 

Пораболический

Изображение параболического цилиндра с помощью сечений

Прямолинейныеобразующие:

поверхности, бесконечная система прямых линий (или отрезков прямых линий), целиком заполняющих поверхность. Поверхность, состоящая из прямых линий, называется линейчатой. Поверхности, имеющие два семейства прямолинейных образующих, суть поверхности второго порядка.