Дифференциал функции. Теорема о дифференцируемости функции в точке. Теорема о связи дифференцируемости и непрерывности функции в точке.

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Теорема Ферма. Пусть функция определена на интервале и в некоторой
точке имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в
точке существует производная, то она равна нулю, то есть .
Доказательство.
Пусть в точке максимум функции, тогда для всех выполняется соотношение , а значит .Если , то и .Если , то и .Из существования производной следует, что , а это возможно, только когда .Случай, когда в точке минимум функции, доказывается аналогично. Теорема доказана

Теорема. Если функция дифференцируема в точке X, то она и непрерывна в этой точке. Обратное не гарантировано.

Доказательство. Пусть функция Дифференцируема в точке X. Это значит, что ее производная существует и конечна в точке X. То есть

Существует и конечен. По определению предела это значит, что

при .

То есть при малых имеем , откуда , причем это приближенное равенство тем точнее, чем меньше . Устремляя в нем , получаем, что и . А этои означает непрерывность функции в точке X. Первая часть теоремы доказана.

Обратно, если функция непрерывна в некоторой точке X, то это еще не значит, что она дифференцируема в этой точке. Например, функция непрерывна в любой точке X, ибо её график сплошной (без разрывов). И, тем не менее, в точках X1, X2 и X3, как было показано выше, она не дифференцируема.

 

Геометрический смысл производной и дифференциала и физический смысл производной.

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведём к графику функции у = f (х) в точке М (х; у) касательную МТ и

рассмотрим ординату этой касательной для точки х + Δх (рис. 2).

На рисунке |АМ| = Δх, |А | = Δу. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

, т.е.

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tg α = f ′ (х). Поэтому АВ = f ′ (х)⋅Δх.

Сравнивая полученный результат с формулой получаем dy = АВ, т.е. дифференциал

функции у = f (х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой

точке, когда х получит приращение Δх.

 

Геометрический смысл производной заключается в том, что численно производная функции в данной точке равна тангенсу угла, образованного касательной, проведенной через эту точку к данной кривой, и положительным направлением оси Ох:

Геометрический смысл производной. Производная в точке x ₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f (x) в этой точке.

Дифференцирование функций

 

Дифференциалом функции называется линейная относительно часть приращения функции. Она обозначается как или . Таким образом:

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Понятие дифференциала функции

Дифференциалом функции у = f (х) в точке х называется главная часть её приращения,

равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dy (или

df (x)): dy = f ′ (x)⋅Δx.

Дифференциал dy называют также дифференциалом первого порядка. Найдём

дифференциал независимой переменной х, т.е. дифференциал функции у = х.

Так как у' = х' = 1, то имеем dy = dx = Δx, т.е. дифференциал

независимой переменной равен приращению этой переменной: dx = Δx.

Поэтому формулу можно записать так:

dy = f ′ (x) dx,

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на

дифференциал независимой переменной.

 

Правила вычисления производных, связанные с арифметическими действиями над функциями. Производные алгебраической суммы, произведения, частного. Примеры

Пусть функции и и имеют производные в точке x. Тогда

1. Константу можно выносить за знак производной.

Пример:

2. Производная суммы/разности.

Производная суммы/разности двух функций равна сумме/разности производных от каждой из функций.

Пример:

 

3. Производная произведения.

 

Пример:

 

4. Производная частного.

 

Пример:

 

5. Производная сложной функции.

Производная сложной функции равна производной этой функции по промежуточному аргументу , умноженной на производную от промежуточного аргумента по основному аргументу .

и имеют производные соответственно в точках и . Тогда