Книга 2. Конструкция и прочность

КОНСТРУКЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ

АВИАЦИОННЫХ ГАЗОТУРБИННЫХ

ДВИГАТЕЛЕЙ

в двух книгах

КНИГА 2. КОНСТРУКЦИЯ И ПРОЧНОСТЬ

ДЕТАЛЕЙ И УЗЛОВ АВИАЦИОННЫХ

ГАЗОТУРБИННЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

 

 

Рекомендуется учебно-методическим объединением вузов

по образованию в области эксплуатации авиационной

и космической техники для межвузовского использования

в качестве учебного пособия для студентов высших учебных

заведений, обучающихся по специальности 160901 «Техническая

эксплуатация летательных аппаратов т двигателей»

 

 

Красноярск 2007

 

УДК 621.452.22.

ББК 39.65.

 

 

РЕЦЕНЗЕНТЫ:

Главный научный сотрудник отдела машиностроения Института вычислительного моделирования Сиб. отделения РАН

д.т.н., проф. Г.Г Крушенко

Главный инженер ОАО «Красноярский завод №67 Гражданской авиации» Васильев А.А

 

 

Карасев В.П., Кацура А.В.

К21 Конструкция и прочность авиационных газотурбинных двигателей: учеб. Пособие: в 2 кн. Кн. 2. Конструкция и прочность деталей и узлов авиационных газотурбинных двигателей/ В.П. Карасев, А.В. Кацура; Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т.- Красноярск, 2007.-202с.

 

ISBN 978-586433-327-3

 

Учебное пособие состоит из двух частей. В первой части рассмотрены вопросы конструкции основных узлов авиационных двигателей: компрессоров, камер сгорания и газовых турбин и силовые связи этих узлов. Вторая часть состоит из девяти разделов, в которых приведены расчеты на прочность основных элементов двигателей от нагрузок, действующих в полете и конструкция дополнительных частей двигателей, таких как редукторы и выходные устройства.

Подробно рассмотрены вопросы расчетов на прочность лопаток, валов, дисков, являющихся основными элементами, определяющими надежность и ресурс двигателя.

Нагрузки, действующие на элементы двигателя, носят переменный характер, и для обеспечения вибрационной прочности приводятся расчеты по определению частот колебаний лопаток, дисков, критических скоростей вращения роторов, крутильных колебаний валов.

Книга может быть полезна при изучении лекционного материала, проведения лабораторных работ, курсового и дипломного проектирования и самостоятельной работы студентов.

Предназначено для студентов специальности 160901 всех форм обучения и может быть полезно инженерно техническим работникам авиационных предприятий занимающихся ремонтом и обслуживанием авиационных двигателей.

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение 6

1. РАСЧЁТ ЛОПАТОК КОМПРЕССОРОВ И ТУРБИН НА ПРОЧНОСТЬ………………………………………………...……….……..….7

1.1 РАСЧЕТ НАПРЯЖЕНИЙ РАСТЯЖЕНИЯ………………….. …..…8

1.2 РАСЧЁТ ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ………………...………...13

1.2.1 Определение изгибающих моментов от действия центробежных сил…………………...…………………………………….....13

1.2.2 Определение изгибающих моментов от центробежных сил методом конечных разностей…………...………………………….……...…15

1.2.3 Определение напряжений изгиба, суммарных напряжений и запасов прочности……………...……………….……………………….…....16

1.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЙ ИЗГИБА, СУММАРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ И ЗАПАСОВ ПРОЧНОСТИ…………………..………..21

1.4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ЗАМКОВ КРЕПЛЕНИЯРАБОЧИХ ЛОПАТОК……………………..………………………….….……………….25

1.4.1. Расчёт крепления лопатки типа «ласточкин хвост» …...…....26

1.4.2 Расчёт крепления лопатки замком типа «ёлочка»…………......30

1.5. Контрольные вопросы…………………………………………….34

2. КОЛЕБАНИЕ ЛОПАТОК……………...…………………..………………35

2.1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ………………………………………………....40

2.2 РАСЧЕТ ПЕРВОЙ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ЛОПАТКИ…………………………..…………….………………………..….45

2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТКИ В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ…………………………………………………..…49

2.4. РЕЗОНАНСНЫЕ РЕЖИМЫ И СПОСОБЫ БОРЬБЫ С ОПАСНЫМИ КОЛЕБАНИЯМИ…………...………………..………………53

2.5. Контрольные вопросы …………………………………………… 59

3. КРИТИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ РОТОРОВ…...…..........….59

3.1. РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ НЕВЕСОМОГО ВАЛА С ДИСКОМ ………………………….……...……..60

3.2 УСТОЙЧИВОСТЬ БЫСТРОВРАЩАЮЩИХСЯ ГЛАДКИХ ВАЛОВ………………………………………………………………………...71

3.3. КРИТИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ РЕАЛЬНЫХ РОТОРОВ………...……………………………………….…………………...73

3.4. ВЛИЯНИЕ ГИРОСКОПИЧЕСКОГО МОМЕНТА НА КРИТИЧЕСКИЕ СКОРОСТИ ВРАЩЕНЯ…………...………….…….……78

3.4.1 Расчет критической скорости вращения ротора с учётом гироскопического момента……….......…………………….…………...…....80

3.5. РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКИХ СКОРОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ МНОГОДИСКОВЫХ РОТОРОВ………………………………………..…..82

3.6. ПРИВЕДЕНИЕ СЛОЖНЫХ ИЗГИБНЫХ СИСТЕМ К ЭКВИВАЛЕНТНЫМ………………………………...……………………….86

3.7. Контрольные вопросы……………………………………………………89

4. КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РОТОРОВ ГТД………...………………..90

4.1. СВОБОДНЫЕ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ДВУХМАССОВОЙ СИСТЕМЫ………..……………………………………………….……… …90

4.2.СВОБОДНЫЕ КРУТИЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МНОГОМАССОВЫХ СИСТЕМ……………….....……………………....…93

4.3. ПРИВЕДЕНИЕ РЕАЛЬНОЙ КРУТИЛЬНОЙ СИСТЕМЫ К ЭКВИВАЛЕНТНОЙ РАСЧЕТНОЙ…………………………………....…….96

4.4. ВЫНУЖДАЮЩИЕ МОМЕНТЫ И РЕЗОНАНС………….....…..98

4.5. Контрольные вопросы…………………………………………… 99

5.ВИБРАЦИОННЫЕ ПЕРЕГРУЗКИ ДВИГАТЕЛЕЙ……………...………99

5.1. БАЛАНСИРОВКА РОТОРОВ ГТД……………………………...103

5.2. Контрольные вопросы…………………………………………….107

6. РАСЧЁТ НА ПРОЧНОСТЬ ДИСКОВ РОТОРОВ ГТД……...................107

6.1. РАСЧЕТ ДИСКА ПОСТОЯННОЙ ТОЛЩИНЫ………………..111

6.2 РАСЧЕТ РАВНОПРОЧНОГО ДИСКА………...………………...114

6.3. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ДИСКА ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ..………… ………………....…………….115

6.4. Контрольные вопросы…………………………………………….120

7.КОЛЕБАНИЯ ДИСКОВ …………………………………...…………. 120

7.1. Контрольные вопросы………………………………………………….128

8. РЕДУКТОРЫ ГТД……………………...………......……………………..129

8.1. ТРЕБОВАНИЕ К РЕДУКТОРАМ………...………………… …132

8.2. КЛАССИФИКАЦИЯ РЕДУКТОРОВ…………...……….133

8.3. РЕДУКТОРЫ ДЛЯ ПРИВОДА ОДИНОЧНОГО ВИНТА…..136

8.3.1 Простые редукторы………………..…………….…...136

8.3.2. Планетарные редукторы………………………………..….138

8.3.3. Двухступенчатые редукторы привода одиночного винта….....139

8.4. РЕДУКТОРЫ ДЛЯ ПРИВОДА ДВУХ СООСНЫХ ВИНТОВ………………………………………………….…...……………141

8.5. КОНСТРУКЦИЯ РЕДУКТОРОВ ГТД………………….….....146

8.5.1 Зубчатые цилиндрические и конические колеса……......…146

8.5.2. Водила планетарных передач………..…………….……..151

8.5.3. Корпусы редукторов, валы и их опоры ……………..…..153

8.5.5. Применяемые материалы………………..…………..……155

8.6. ИЗМЕРИТЕЛИ КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА……......…..….…....156

8.7. Контрольные вопросы…………………………………………….163

9. ВЫХОДНЫЕ И РЕВЕВЕРСИВНЫЕ УСТРОЙСТВА………..……..............163

9.1 НЕРЕГУЛИРУЕМЫЕ ВЫХОДНЫЕ УСТРОЙСТВА…………..164

9.1.1. Конструкция нерегулируемых дозвуковых выходных устройств………………………………………………………………...….......172

9.2. РЕГУЛИРУЕМЫЕ ДОЗВУКОВЫЕ ВЫХОДНЫЕ УСТРОЙСТВА 177

9.3. СВЕРЗВУКОВЫЕ РЕГУЛИРУЕМЫЕ ВЫХОДНЫЕ

УСТРОЙСТВА………………………………………………….…………...182

9.4 УСТРОЙСТВА ДЛЯ РЕВЕРСА И ДЕВИАЦИИ ТЯГИ…….……...…..184 9.5. МЕТОДЫ СНИЖЕНИЯ ШУМА………………..……………..187

9.5.1 Шумоглушащие сопла…………………………..…..….190

9.5.2 Снижение шума компрессора………………...….………194

9.5.3 Аэродромные глушители шума……………………………..200

9.6. Контрольные вопросы…………………………………………….205

Заключение 205

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК………………….………… …..207

 

ВВЕДЕНИЕ

Курс «Конструкция и прочность авиационных двигателей» (КиПАД), является одним из основных курсов в системе подготовки специалистов для гражданской авиации специальности 160901. Изложение курса ориентировано на студентов получивших достаточную подготовку по общеинженерным дисциплинам и специальным техническим дисциплинам. Данный курс является логическим продолжением курса «Теория авиационных двигателей».

Вопросы конструктивного выполнения основных типов и узлов авиационных двигателей, определения нагрузок действующих на элементы двигателя в процессе эксплуатации подробно рассмотрены в книге 1 учебного пособия.

В книге 2 учебного пособия рассматриваются в основном вопросы прочности деталей ГТД.

При работе газотурбинного двигателя детали проточной части подвержены воздействию статических, динамических и температурных нагрузок. Наиболее нагруженными узлами являются детали роторов - диски, лопатки, валы; детали горячей проточной части – жаровые трубы, лопатки направляющих и сопловых аппаратов, выходные устройства. Поэтому при проектировании двигателей необходимо определять напряжения во всех элементах ГТД с учетом реальных факторов на всех режимах эксплуатации. Напряжения определяются расчетом с последующим уточнением на реальных изделиях. Трудность расчетного определения напряжений обусловлена тем, что детали нагружены центробежными и газовыми силами, нагрузками от неравномерного термического нагрева и усилиями в местах соединения деталей. Аналитических зависимостей для расчета даже статических напряжений не существует.

Расчет напряжений проводится по зависимостям, которые обычно решаются численными методами.

Все детали проточной части двигателя подвержены воздействию динамических нагрузок от газовых и инерционных сил, которые вызывают колебание деталей с определенной частотой. При совпадении частот собственных колебаний с частотами вынуждающих сил наступает резонанс, при этом амплитуда колебаний резко увеличивается, что может привести к поломке. Длительная работа двигателя на резонансных режимах по любой детали недопустима.

Определение прочности двигателя в учебном пособии ограничивается вопросами расчёта самых высоконагруженных узлов газотурбинного двигателя, определяющих надежность его работы: рабочих, спрямляющих (направляющих) и сопловых лопаток турбин и компрессоров, дисков и барабанов роторов, узлов соединения лопаток с дисками, элементов роторов между собой и с валом, стяжные болты, валы, корпусы камер сгорания.

При изложении вопросов колебаний двигателя рассматриваются основные нагрузки, вызывающие колебания в лопатках, дисках, роторах, экспериментальные и теоретические методы их определения. Также рассмотрены вопросы экспериментально и теоретического определения критических скоростей вращения роторов, влияющие факторы и способы борьбы с опасными колебаниями.

Подробно изложены вопросы назначения, требования и конструктивного исполнения редукторов ТВД и выходных устройств ГТД.

Каждый раздел по расчету прочности и динамики содержит расчетную схему, основные допущения, теоретические зависимости с логическим выводом расчетных зависимостей. Проводится краткий анализ полученных результатов, и приводятся рекомендации по исключению опасных режимов эксплуатации.

 

КОЛЕБАНИЕ ЛОПАТОК

 

Работа рабочих, направляющих и сопловых лопаток компрессоров и турбин в ГТД неизбежно сопровождается их вибрацией, что может быть причиной их разрушения.

Обеспечение надежной работы лопаток ГТД является одним из важнейших вопросов в двигателестроении.

Если к лопатке с жесткой заделкой в корневом сечении приложить единичный импульс силы, обеспечивающий её упругую деформацию, то лопатка начнет колебаться. Колебания лопатки без воздействия внешней силы, называются свободными или собственными. Из-за трения о воздух, гистерезиса в материале лопатке и т.д. амплитуда колебаний со временем уменьшается, т.е. свободные колебания затухающие.

Если колебания лопатки происходят под воздействием внешней переменной силы, то такие колебания называются вынужденными.

При совпадении частоты собственных и вынужденных колебаний наступает резонанс, при котором амплитуда резко возрастает и может произойти поломка детали. Работа изделий на резонансных режимах, особенно продолжительное время недопустима.

Поэтому при разработке нового двигателя решается две динамические задачи:

- определение спектра собственных частот и форм колебаний лопаток компрессоров и турбин;

- определение источника и частот колебаний внешних возбуждающих сил.

Источниками колебаний в ГТД могут быть:

- колебания газового потока по тракту двигателя;

- силы инерции вращающихся масс;

- вибрация элементов двигателя и самолёта.

Колебания газового потока всегда сопровождает работу ГТД. Частота и амплитуда внешних колебаний определяются: конечным числом лопаток ступеней компрессора и турбины, пульсационным горением топлива в камере сгорания, наличием в проточной части стоек, а также отклонением размеров проточной части от расчётных из-за неточности изготовления, сборки, деформаций или обгорания в процессе работы, затенения входа от обледенения и др.

Так, за решеткой профилей с конечным числом лопаток, газовый поток имеет окружную неравномерность скоростей и давлений (рис.2.1), которая определяется толщиной выходной кромки лопатки и расстоянием между решётками.

 

 

Рис. 2.1 Примерная эпюра изменения

давления за направляющим аппаратом

 

В ТВД неравномерность газового потока по тракту двигателя может быть вызвана воздушным винтом и редуктором.

Так лопатка ротора вращающегося со скоростью (число оборотов в секунду) получает за один оборот один импульс, то за одну секунду будет подвержена импульсам, а при числе возмущающих импульсов в одну секунду - импульсам.

Частота вынуждающей силы приложенной к лопатке определится:

 

. (2.1)

 

В реальных двигателях вынуждающая сила действует не мгновенными импульсами, а растянута во времени (рис.2.2).

Для удобства анализа и расчёта обычно зависимость вынуждающей силы раскладывают в ряд Фурье в виде суммы гармоник:

 

, (2.2)

 

где - постоянное среднее давление; - амплитуды сил от первой, второй и - ой гармоники; - угол, отсчитываемый от произвольной точки корпуса; - фазовые углы.

 

Рис.2.2. Разложение вынуждающей силы на гармоники

 

Частота возмущающей силы от - ой гармоники определится:

 

= (2.3)

 

На величину напряжений, возникающих при колебаниях лопаток, влияет амплитуда возмущающей силы, частота и форма колебаний, прочностные характеристики материала лопаток, силы демпфирования и геометрические размеры лопаток.

Точный расчёт напряжений, ввиду сложности процесса из-за отсутствия данных о величине и распределении по высоте лопатки возмущающих сил и сил сопротивления колебаниям практически невозможен даже для низших гармоник возбуждающих сил. Поэтому на практике напряжения определяют тензометрированием лопаток при натурных испытаниях.

На примере изгибных колебаний лопатки постоянного профиля рассмотрим оценочный расчет напряжений в корневом сечении лопатки постоянного сечения и выясним величину динамических напряжений, и какие основные факторы влияют на величину напряжений при резонансе.

Примем допущения, что амплитуда возмущающей силы постоянна по высоте лопатки и составляет часть от статической нагрузки.

Напряжения изгиба в корневом сечении определятся

 

, (2.4)

 

где - длина лопатки; - момент сопротивления в корневом сечении; - амплитуда первой гармоники (принимается 0.03…0,05 от давления входа перед лопаткой); - коэффициент определяется формой колебаний (для первой формы ); - логарифмический декремент собственных колебаний, который определяется (рис.2.3) по зависимости затухания.

 

Рис. 2.3. Декремент затухания колебаний

 

(2.5)

 

Напряжение в корневом сечении от равномерно распределённой по длине лопатки нагрузки определяется:

 

(2.6)

 

Подставим выражение (2.6) в уравнение (2.4)

 

(2.7)

Обычно амплитуда первой гармоники вынуждающей газовой силы составляет 0,03… 0,05 от то и напряжения ,

где напряжение от статических газовых сил.

Пусть при расчете получено, что напряжения в лопатке от статических сил то, подставляя значения в уравнение (2.7), получим

 

Таким образом, получено, что динамические напряжения в корневом сечении являются очень значительными и в 14 раз превышают напряжения - от статических газовых сил. Проведенный анализ является оценочным и показывает, что напряжения изгиба в пластине с жесткой заделкой от переменной силой являются весьма существенными и значительно превосходят напряжения от статической нагрузки.

Формы колебаний лопаток

По форме упругих деформаций свободные колебания лопаток можно разделить на: изгибные, крутильные и сложные (изгибно-крутильные). Возможны также колебания пластинчато-изгибные, при которых происходит деформации относительно средней линии профиля (рис.2.4).

Рис. 2.4 Формы колебаний лопаток: а - изгибные; б – крутильные;

в – пластинчатые

При колебаниях геометрическое место точек лопатки остающееся неподвижным называется узлом колебаний. Соответственно если лопатка имеет один узел колебаний то 1-я форма, два узла 2-я форма и т.д. Число форм колебаний (число узловых линий) определяется числом сосредоточенных масс – одна масса – одна форма, две массы – две формы и т.д. (рис 2.5).

Рис. 2.5 Формы колебаний невесомого упругого

стержня: а – одна масса; б - две массы

 

Рабочие лопатки представляют собой системы с бесконечным числом сосредоточенных масс, поэтому имеют бесконечное число форм и частот собственных колебаний.

 

2.1 СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ ПОСТОЯННОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ

 

Рассмотрим колебания стержня с жёсткой односторонней заделкой постоянного поперечного сечения (рис. 2.6). Считаем прогибы малыми, а силы и моменты функции не только координат, но и времени.

Выделим в стержне длиной на расстоянии от места заделки малый элемент dx и заменим воздействие отброшенных частей поперечными силами и изгибающими моментами М (см. рис.2.6).

Используя принцип Даламбера, запишем уравнение равновесия сил выделенного элемента на ось у

 

, или (2.8)

 

где - плотность материала лопатки; F- площадь рассматриваемого поперечного сечения лопатки.

 

Рис.2.6. Расчетная схема колебания стержня постоянного поперечного сечения

с односторонней жесткой заделкой

 

Приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно оси перпендикулярной плоскости ху, получим

 

(2.9)

 

 

Подставим выражение (2.9) в уравнение равновесия

 

. (2.10)

 

Запишем дифференциальное уравнение изогнутой оси балки при малых прогибах

 

. (2.11)

 

Подставим данное соотношение в выражение (2.9) и получим дифференциальное уравнение колебаний стержня

 

(2.12)

 

Для стержня постоянного сечения тогда (2.12) запишется

 

(2.13)

 

 

где (2.14)

 

Представим решения уравнения (2.13), с учетом граничных условий в виде суммы произведений функций времени и координаты

 

(2.15)

 

Подставим (2.15) в уравнение (2.13) получим

 

(2.16)

 

откуда, с учетом того, что t и х независимы друг от друга, то равенство (2.16) возможно только при условии

 

(2.17)

 

Для определения и составим из равенства (2.17) два обыкновенных дифференциальных уравнения

 

(2.18)

 

где

(2.19)

 

Решение первого уравнения (2.19) имеет вид

 

(2.20)

 

и является уравнением гармонических колебаний с круговой частотой .

Решение второго уравнения (2.18) представим в форме

 

(2.21)

 

Дифференцируя три раза выражение (2.21), получим

 

(2.22)

 

 

(2.23)

 

(2.24)

 

С учетом полученных зависимостей уравнение (2.15) запишется

 

. (2.25)

 

Следовательно, колебательное движение стержня является суммой бесконечно большого числа гармонических колебаний с различными частотами, каждой из которых соответствует своя форма упругой линии.

Постоянные интегрирования и связаны с амплитудой и фазой колебаний и определяются по граничным условиям.

Круговая частота и частота свободных колебаний связаны соотношением

(2.26)

 

Для лопатки с заделкой в корневом сечении, граничные условия имеют вид

(2.27)

 

(2.28)

 

Используя соотношения (2.9) и (2.11) граничные условия (2.28) можно записать

(2.29)

 

или для функции

 

;

 

Выражения (2.22)… (2.25) запишутся

(2.30)

 

(2.31)

 

Так как, и не равны нулям, то определитель системы равен нулю:

 

(2.32)

 

Раскрывая определитель, имеем

(2.33)

 

Полученное уравнение является трансцендентным, имеющим бесчисленное количество корней. Первые четыре корня этого уравнения равны:

 

Подставим в формулу (2.26) значение =1.875, получим первую частоту свободных колебаний

 

(2.34)

 

Аналогично вычисляются и другие формы колебаний.

Из выражения (2.31) можем записать:

 

(2.35)

 

Принимая в уравнении (2.21) и учитывая соотношения (2.30) имеем

 

(2.36)

 

Решая совместно уравнения (2.35) и (2.36) получим

 

(2.37)

 

Подставим (2.37) в уравнение (2.36) получим уравнения, характеризующее формы колебаний различных тонов

 

(2.38)

 

Различные формы колебаний лопатки приведены на рис.2.4.

 

2.2. РАСЧЕТ ПЕРВОЙ СОБСТВЕННОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ЛОПАТКИ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

 

Существует много методов теоретического определения собственных частот колебаний лопаток: энергетический, метод наложений, конечных разностей и т.д. Рассмотрим метод наложений как наиболее простой. Однако он позволяет рассчитать только 1-ю форму колебаний.

Рассмотрим лопатку с заделкой в корневом сечении и примем следующую расчётную схему (рис.2.7):

 

Рис.2.7. Расчетная схема лопатки

 

Лопатку по длине разобьём на n- равных участков считаем, что в каждом сечении масса сосредоточена в середине участка, а площадь и момент инерции постоянны по длине участка и равны значениям в середине участка.

Рассмотрим произвольный -ый участок; -масса -го участка; , - площадь и момент инерции -го участка.

 

(2.39)

 

При свободных колебаниях каждая точка лопатки совершает колебания с частотой и амплитудой по гармоническому закону

 

(2.40)

 

К - той точке приложена сила инерции

. (2.41)

 

Подставим в уравнение (2.41) и, проведя дифференцирование, получим

 

. (2.42)

 

Так как при свободных колебаниях лопатки силы инерции являются единственными внешними силами, то можно составить систему из уравнений.

 

, (2.43)

 

где - коэффициент влияния представляющий собой прогиб в k точке, от единичной силы, приложенной в точке i. =1,2,… n; k =1,2… n.

Подставим (2.40) и (2.42) в уравнение (2.43) получим

 

(2.44)

Решение системы возможно в том случае если её определитель равен нулю

 

(2.45)

 

Частоты , удовлетворяющие уравнению (2.45) и есть искомые.

Представим определитель (2.45) в виде:

 

, (2.46)

 

где ; - коэффициенты, зависящие от массовых и упругих характеристик лопатки, в частности

 

(2.47)

 

Коэффициенты уравнения (2.46) также можно представить в виде степенного ряда

, (2.48)

 

где - корни уравнения (2.46).

Приравняем (2.48) и (2.47), получим

 

(2.49)

 

Так как частота низших гармоник намного меньше высших, то ими можно пренебречь и тогда

(2.50)

 

и частота первой формы колебаний определится

 

(2.51)

Коэффициенты влияния определяются через интеграл Мора

 

, (2.52)

 

где - момент от единичной силы, приложенный в точке ; - момент инерции сечения лопатки расположенного на расстоянии Х от места заделки.

 

тогда

 

(2.53)

 

Подставим (2.53) в формулу (2.51)

 

, (2.54)

 

где (2.55)

Факторы, влияющие на частоту собственных колебаний лопатки

 

Проведём анализ зависимости (2.54).

При увеличении длины лопатки собственная частота первой формы колебаний уменьшается пропорционально квадрату отношения длин лопаток:

.

 

Изменение температуры лопатки изменяет модуль упругости материала . Повышение температуры снижает Е и, следовательно, частоту собственных колебаний лопатки по соотношению

 

.

 

Материал лопатки характеризуется отношением . Для материалов, из которых изготавливаются лопатки, это отношение меняется незначительно. Так частоты собственных колебаний стальных лопаток всего на 5…7%, а титановых на 6…8% больше чем изготовленной из алюминия при тех же размерах. Однако усталостная прочность у лопаток из алюминия ниже в 4…5 раз.

Уменьшение осевых моментов инерции сечения лопатки приводит к снижению первой собственной частоты колебаний лопатки пропорционально корню квадратному из отношения моментов

Также на частоту колебаний существенно влияют параметры профиля – толщина, клиновидность, трапециевидность, закрученность.

Так, увеличение толщины профиля, в большей степени увеличивает жёсткость, чем массу, поэтому частота собственных колебаний также увеличивается.

Увеличение клиновидности (уменьшение отношения ), при неизменной площади корневого сечения, повышает частоту первой формы изгибных колебаний.

Уменьшение трапециевидности (отношение длины хорды лопатки на периферии к длине хорды в корневом сечении ), при постоянной площади корневого сечения, приводит к снижению частоты собственных колебаний лопатки.

Закрутка лопатки большого влияния на частоту колебаний не оказывает.

На частоту собственных колебаний лопатки оказывает влияние форма перехода от пера к хвостовику, тип и форма хвостовика, а также усилие затяжки хвостовика в диске.

 

2.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЯ ЛОПАТКИ В ПОЛЕ ЦЕНТРОБЕЖНЫХ СИЛ

 

При вращении ротора на лопатку действует центробежная сила, которая повышает частоту собственных колебаний. Центробежная сила стремится выпрямить ось лопатки, отклоняющуюся при колебаниях.

Центробежная сила приводит к повышению жёсткости лопатки, как натяжение струны в музыкальных инструментах. Влияние центробежной силы возрастает с увеличением закрутки лопатки, угла установки. Бандажная полка также повышает влияние центробежной силы на увеличение собственной частоты колебаний.

Кроме того, в конструкциях, где хвостовик лопатки устанавливается свободно в диске, центробежная сила увеличивает защемление хвостовика лопатки и тем самым повышает частоту собственных колебаний.

Определение частоты колебаний лопатки в поле центробежных сил проведем энергетическим методом. Рассмотрим колебание лопаток с жесткой заделкой в ободе диска в плоскости наименьшей жесткости.

Лопатку представим как упругую невесомую балку с приведенной массой на конце (рис.2.8). К массе приложена центробежная сила

При свободных колебаниях сумма потенциальной и кинетической энергий должна оставаться постоянной

 

(2.56)

 

Рис.2.8. К расчету частоты

колебаний лопатки в поле

центробежных сил

 

В процессе колебаний приведенная масса на упругой балке отклонится на угол , при этом центробежная сила совершает работу. Пренебрегаем ввиду малости окружной составляющей центробежной силы , получим максимальную работу центробежных сил при максимальном прогибе

 

(2.57)