Производная и дифференциал функции

Т.Н. Ерохина

 

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

 

Учебное пособие

Барнаул 2005

Т.Н. Ерохина

 

СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ

ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ

 

Учебное пособие

Барнаул 2005

Рекомендовано к печати методическим Советом Барнаульского торгово-экономического колледжа

 

 

Ерохина Т.Н. Сборник задач и упражнений по математике: учебное пособие.-Барнаул,2005,-46 С.

 

Учебное пособие составлено с учетом Государственного стандарта среднего профессионального образования. В пособии подобран теоретический и практический материал для освоения программы дисциплины «Математика».

Материал изложен в доступной форме, с соблюдением должной математической строгости. Приводятся решения типовых примеров и задач, что способствует лучшему пониманию учебного материала. В конце каждой темы имеются упражнения для самостоятельной решения.

Данный материал предназначен в первую очередь для студентов торгово-экономического колледжа дневной, заочной и дистанционной форм обучения. Может быть использован преподавателями и студентами других учебных заведений, а также для самостоятельного обучения.

Рецензент: Л.В. Болгерт

преподаватель информатики БТЭК

© Издательство 2005

Содержание

 

Предисловие.................................................................................... 4

1 Предел функции.......................................................................... 5

Упражнения................................................................................ 10

2 Производная и дифференциал функции.............................. 11

Упражнения................................................................................ 26

3 Неопределенный интеграл...................................................... 30

Упражнения................................................................................ 36

4 Определенный интеграл.......................................................... 38

Упражнения................................................................................ 44

Список использованных источников....................................... 46

 

 

Предисловие

 

В учебном пособии раскрывается содержание основных понятий и теорем курса математического анализа на специально подобранных упражнениях и задачах. В каждом разделе приводятся краткие теоретические сведения, состоящие из определений и основных математических понятий. Первый раздел посвящен пределу функции, второй – производной функции, третий и четвертый – интегральному исчислению.

В пособии подобраны типовые задачи и приводятся их решения. В каждом разделе содержаться упражнения для самостоятельной работы.

Пособие рекомендуется для практических занятий всех форм обучения БТЭК.

Автор считает своим долгом выразить искреннюю признательность студентам и преподавателям, высказывающим критические замечания и предложения, способствующие улучшению данного пособия в будущем.

Предел функции

 

Число а называется пределом числовой последовательности х₁, х₂, х₃… х_n, если для всякого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число N, что çх_n – aç< Е при n>N. В этом случае пишут .

Число А называется пределом функции f (x) при х → а, если для любого сколь угодно малого Е > 0 найдется такое δ > 0, что

çf(x) – Aç < Е при 0<çх – аç < δ.

 

Аналогично , если çf(x)-Aç< Е при çхç>N.

Условно записывают , если çf(x)ç>М при 0<çх-аç<δ, где

М – производное положительное число. В этом случае функция f(x) называется бесконечно большой при х→а.

Если , то функция a(x) называется бесконечно малой

при х→а.

Вычисление приделов основывается на следующих теоремах и их следствиях.

Если существуют и , то

.

.

, если g(x)≠0.

, где с=const.

.

.

Пример 1 Вычислить .

Воспользуемся теоремой о пределе разности и суммы, получим

Таким образом, для вычисления предела многочлена f (x) при х → х₀ достаточно вместо переменной х поставить значение х₀, к которому она стремится, и выполнить соответствующие действия, т.е.

Пример 2 Вычислить .

Предел отношения двух многочленов, , где х₀ – число.

Если q(х₀) ≠ 0, то можно применить теорему о пределе частного. Здесь и .Так как , то имеем:

.

Пример 3 Вычислить .

Если , то теорему о пределе частного применить нельзя. Тогда если , то

.

Если же имеем неопределенность вида , в этом случае предел можно вычислить разложением многочленов на множители или заменой .

Разложим на множители числитель и знаменатель.

.

Пример 4 Вычислить .

Здесь , , имеет место неопределенность вида .

I Способ решения:

Для раскрытия неопределенности разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу:

, где ; корни квадратного уравнения.

D = b² – 4ac дискриминант.

Решим уравнение

.

Его корни ; .

.

; .

.

II Способ решения:

Введем замену:

, , так как , то .

Пример 5 Вычислить .

, .

Имеет место неопределенность вида . Преобразуем дробь, стоящую под знаком предела, умножив числитель и знаменатель на сопряженное числителя.

Пример 6 Вычислить .

Данный предел представляет отношение многочленов при .

По свойствам бесконечно больших функций , где , - бесконечно большая функция, - бесконечно малая функция.

.

.

Пример 7 Вычислить .

В числителе - бесконечно большая функция. По свойствам бесконечно больших функций , где , - бесконечно большие функции.

.

Пример 8 Вычислить .

Имеет место неопределенность вида . Вынесем в числителе и знаменателе аргумент со старшей степенью.

.

Упражнения

Вычислить пределы (1.1-1.46):

1.1 ; 1.2 ; 1.3 ;

1.4 ; 1.5 ; 1.6 ;

1.7 ; 1.8 ; 1.9 ;

1.10 ; 1.11 ; 1.12 ;

1.13 ; 1.14 ; 1.15 ;

1.16 ; 1.17 ; 1.18 ;

1.19 ; 1.20 ; 1.21 ;

1.22 ; 1.23 ; 1.24 ;

1.25 ; 1.26 ; 1.27 ;

1.28 ; 1.29 ; 1.30 ;

1.31 ; 1.32 ;1.33 ;

1.34 ; 1.35 ; 1.36 ; 1.37 ;

1.38 ; 1.39 ; 1.40 ;

1.41 ; 1.42 ; 1.43 ;

1.44 ; 1.45 ; 1.46 .

Правила дифференцирования

1. 2. , где

3. 4.

 

 

Таблица производных

 

№	Производные основных элементарных функций	Производные сложных функций, u = u(x) – производная функция
	,

 

- дифференциал функции , где - дифференциал независимой переменной х.

Пример 1 Найти производные функций:

а) ;

б) ;

в) .

Решение:

а) Применим правила дифференцирования.

Пример 2 Найти производные функций:

а) ;

б) .

Решение:

Данные функции являются сложными степенными .

б) .

Пример 3 Найти производные функции:

а) ;

б) ;

в) ;

Решение:

а) Функция сложная , где

,

.

.

б) Функция сложная , где

,

,

.

в) Функция сложная

, где

,

,

.

Упражнения

Найти производные функции (2.1-2.43):

2.1 ; 2.2 ;

2.3 ; 2.4 ;

2.5 ; 2.6 ;

2.7 ; 2.8 ;

2.9 ; 2.10 ;

2.11 ; 2.12 Найти ;

2.13 ; 2.14 ;

2.15 ; 2.16 ;

2.17 ; 2.18 ;

2.19 ; 2.20 Найти ;

2.21 ; 2.22 ;

2.23 ; 2.24 ;

2.25 ; 2.26 ;

2.27 ; 2.28 ;

2.29 ; 2.30 ;

2.31 ; 2.32 Найти ;

2.33 ; 2.34 Найти ;

2.35. ; 2.36 ;

2.37 ; 2.38 ;

2.39 ; 2.40 ;

2.41 ; 2.42 ;

2.43 .

Найти производные и дифференциалы функций (2.44-2.54):

2.44 ; 2.45 ;

2.46 ; 2.47 ;

2.48 ; 2.49 ;

2.50 ; 2.51 ;

2.52 ; 2.53 ;

2.54 .

Найти производные высших порядков (2.55-2.62)

2.55 Найти .

2.56 Найти .

2.57 Найти .

2.58 Найти .

2.59 Найти .

2.60 Найти

2.61 Найти.

2.62 Найти.

Найти интервалы монотонности функций (2.63-2.70):

2.63 ; 2.64 ;

2.65 ; 2.66 ;

2.67 ; 2.68 ;

2.69 ; 2.70 .

Исследовать с помощью первой производной функции на экстремум (2.71-2.78):

2.71 ; 2.72 ;

2.73 ; 2.74 ;

2.75 ; 2.76 ;

2.77 ; 2.78 .

Исследовать с помощью второй производной функции на экстремум (2.79-2.85):

2.79 ; 2.80 ;

2.81 ; 2.82 ;

2.83 ; 2.84 ;

2.85 .

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости следующих

кривых (2.86-2.95):

2.86 ; 2.87 ;

2.88 ; 2.89 ;

2.90 ; 2.91 ;

2.92 ; 2.93 ;

2.94 ; 2.95 .

Исследовать функции и построить их график (2.96-2.104):

2.96 ; 2.97 ; 2.98 ;

2.99 ; 2.100 ; 2.101 ;

2.102 ; 2.103 ; 2.104 .

Неопределенный интеграл

 

Функция F(х) называется первообразной для функции f (x), если или .

Если функция f(х) имеет первообразную F(x), то она имеет бесконечное множество первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении ; где С – постоянная.

Неопределенным интегралом от функции f (x) называется совокупность всех ее первообразных.

– знак интеграла, f (x) подынтегральная функция, - подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.

Отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием.

Основные интегралы.

1) , n ≠ -1,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

11) ,

12) ,

13) ,

14) ,

15) ,

16) ,

17) .

Методы интегрирования

I. Непосредственное интегрирование: подынтегральное выражение путем преобразований и использования свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Пример 1 Вычислить .

Разделим числитель на знаменатель, получим

Пример 2 Найти .

Приведем подынтегральные выражения к степенным

.

Пример 3 Найти .

Раскроем скобки

.

Пример 4 Найти . Результат проверить дифференцированием.

Преобразуем знаменатель

.

Проверим результат

.

Получили подынтегральную функцию, интеграл найден верно.

 

II. Замена переменной в неопределенном интеграле: замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановок двух видов:

1) , где - монотонная, непрерывная дифференцируемая функция новой переменной t. Формула замены переменной в этом случае имеет вид

;

2) , где u – новая переменная.

Формула замены переменной при такой постановке:

Пример 5 Найти .

Приведем подынтегральное выражение к табличному с помощью замены . Найдем дифференциал от обеих частей подстановки: , откуда . Следовательно,

.

Пример 6 Найти .

Так как производная выражения равна , применим подстановку . Дифференциал от обеих частей равен , .

.

Пример 7 Найти .

Во многих случаях нет необходимости записывать, какое выражение мы принимаем за новую переменную.

.

III. Интегрирование по частям: интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле

;

где , - непрерывно дифференцируемые функции от х. С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла , ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен.

При этом за U берется такая функция, которая при дифференцировании упрощается, а за - та часть подынтегрального выражения, интеграл от которой известен или может быть найден.

Пример 8 Найти .

Положим , , тогда . Следовательно,

 

 

Пример 9 Найти .

Положим , , тогда , . Следовательно,

Пример 10 Найти .

Положим , , тогда , . Следовательно,

.

Вновь применим формулу интегрирования по частям. Положим , , тогда , .

Таким образом,

Так как в правой части стоит искомый интеграл, то перенесем его в левую часть получим

Упражнения

Найти интегралы (3.1-3.61):

3.1 ; 3.2 ;

3.3 ; 3.4 ;

3.5 ; 3.6 ;

3.7 ; 3.8 ;

3.9 ; 3.10 ;

3.11 ; 3.12 ;

3.13 ; 3.14 ;

3.15 ; 3.16 ;

3.17 ; 3.18 ;

3.19 ; 3.20 ;

3.21 ; 3.22 ;

3.23 ; 3.24 ;

3.25 ; 3.26 ;

3.27 ; 3.28 ;

3.29 ; 3.30 ;

3.31 ; 3.32 ;

3.33 ; 3.34 ;

3.35 ; 3.36 ;

3.37 ; 3.38. ;

3.39 ; 3.40 ;

3.41 ; 3.42 ;

3.43 ; 3.44 ;

3.45 ; 3.46 ;

3.47 ; 3.48 ;

3.49 ; 3.50 ;

3.51 ; 3.52 ;

3.53 ; 3.54 ;

3.55 ; 3.56 ;

3.57 ; 3.58 ;

3.59 ; 3.60 ;

3.61 .

 

Определенный интеграл

 

Определенным интегралом от функции на отрезке [a; b] (или в пределах от a до b) называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков (max Δx_к) стремится к нулю:

Если функция непрерывна на [a; b], то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения отрезка [a; b] на элементарные отрезки и от выбора точек .

Числа a и b называют нижним и верхним пределами интегрирования.

Упражнения

Вычислить интегралы (4.1-4.37):

4.1 ; 4.2 ; 4.3 ;

4.4 ; 4.5 ; 4.6 ;

4.7 ; 4.8 ; 4.9 ;

4.10 ; 4.11 ; 4.12 ;

4.13 4.14 ; 4.15 ;

4.16 ; 4.17 ; 4.18 ;

4.19 ; 4.20 ; 4.21 ;

4.22 ; 4.23 ; 4.24 ;

4.25 ; 4.26 ; 4.27 ;

4.28 ; 4.29 ; 4.30 ;