Классификация математических моделей

ММ классифицируются по следующим признакам:

· характер отображаемых свойств объекта;

· принадлежность к иерархическому уровню;

· степень детализации описания внутри одного уровня;

· способ получения модели.

По характеру отображаемых свойств объекта ММ делятся на структурные и функциональные.

Различают структурные топологические и геометрические ММ.

В топологических ММ отображают состав и взаимосвязи элементов объекта. Эти ММ чаще применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, например, при решении задач привязки конструктивных элементов к определенным пространственным позициям или относительным моментам времени при разработке технологических процессов.

В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении объектов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические модели могут выражаться, например, совокупностью уравнений линий и поверхностей.

Функциональные математические модели предназначены для отображения физических и информационных процессов, протекающих в объекте при его функционировании или изготовлении.

Использование блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов.

В зависимости от места в иерархии описаний математические модели делятся на ММ микро-, макро - и метауровня.

 

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичными ММ этого уровня являются дифференциальные уравнения в частных производных. В них независимым переменными являются пространственные координаты и время.

ММ на макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Здесь ММ также представляются в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений. В этих моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов.

По способу представления свойств объектов функциональные модели делятся на аналитические и алгоритмические.

Аналитические ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных и внутренних, т.е. имеют вид:

 

Y=F(X, Q), (3.3)

 

где Y=(y1,y2,...,ym) - вектор выходных параметров;

X=(x1,x2,..., xn) - вектор внутренних параметров;

Q=(q1,q2,..., ql) - вектор внешних параметров.

 

Аналитические модели характеризуются высокой экономичностью, однако их получение возможно лишь в частных случаях и, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих адекватность модели.

Алгоритмические модели выражают связи выходных параметров с параметрами внутренними и внешними в форме алгоритма.

Для получения моделей используют неформальные и формальные методы.

Неформальные методы используют на различных иерархических уровнях для получения ММ элементов. Формальные методы применяют для получения ММ систем при известных математических моделях элементов.

 

Методика получения математических моделей

В общем случае методика получения ММ включает в себя следующие операции:

1. Выбор свойств объекта, которые подлежат отражению в модели;

2. Сбор исходной информации овыбранных свойствах объекта;

3. Синтез структуры ММ;

4. Расчет числовых значений параметров ММ. Эта задача ставится как задача минимизации погрешности модели заданной структуры, т.е.

min e_M(X),

XÎX_Д

 

где X- вектор параметров ММ; X_Д- область варьирования параметров; e_M- погрешность ММ(см.3.1);

5. Оценка точности и адекватности ММ.

[NN2] Лекция 4

Математическое обеспечение САПР

Алгоритмы выполнения проектных процедур

Как отмечалось ранее схема процесса проектирования в САПР может быть представлена следующей схемой рис.4.1.

Постановка и решение задач анализа

Рассмотрим математическую постановку типовых проектных задач анализа.

Анализ д инамических процессов выполняется путем решения обыкновенных дифференциальных уравнений (с известными начальными условиями) вида:

F(dU/dt), V, t)=0 (4.1)

 

где V=(U,W)- вектор фазовых переменных; U - вектор, характеризующий запасы энергии в элементах объекта; t- время.

 

 

 

формулировка ТЗ корректировка ТЗ

Уровень k

 

 

синтез структуры

СИНТЕЗ

 

 

создание модели изменение структуры

 

выбор исходных

значений

параметров

Параметрический синтез

 

АНАЛИЗ модификация

параметров

 

получено требуемое выбор способа

проектн. решение улучшения проекта

 

 

оформление документации

 

формулировка ТЗ на

элементы

 

Уровень k+1

 

 

Рис.4.1. Схема процесса проектирования

 

Решение ОДУ позволяет получить зависимость вектора фазовых переменных V=(U,W) от t в табличной форме.

Большинство выходных параметров Y проектируемых объектов являются функционалами зависимостей V(t), например определенных интегралами, экстремальными значениями и др. Решение системы(4.1)

и расчет выходных параметров- функционалов составляют содержание процедуры анализа переходных процессов.

Анализ статических состояний объектов также может быть выполнено путем интегрирования уравнений типа(4.1), но, поскольку в статике dU/dt=0, такой анализ может быть сведен к решению систем алгебраических уравнений

 

F(V)=0. (4.2)

 

При проектировании САУ важное значение имеет задача анализа устойчивости.

 

Анализ чувствительности заключается в определении внутренних и внешних параметров xi на выходные yj. Количественная оценка этого влияния представляется матрицей чувствительности A c элементами

aij=dyj/di.

 

Статистический анализ выполняется с целью получения тех или иных о распределении параметров yj при задании статистических сведений о параметрах xi. Результаты статистического анализа могут быть представлены в виде гистограмм распределения yj, оценок числовых характеристик распределений мат. ожидания, дисперсии и т.д.