Отношения между понятиями по объему

Между понятиями существуют объективные, независящие от человека отношения. Прежде всего, это отношения сравнимости и несравнимости.

Два понятия aА(a) и aВ(a) являются сравнимыми, если и только если их универсумы совпадают. Например, понятия о преступнике и о жертве преступления являются сравнимыми. Оба они относятся к одной и той же предметной области – универсуму людей.

Два понятия aА(a) и aВ(a) являются несравнимыми, если они относятся к различным универсумам. Например, понятие о четном числе и понятие о европейской столице являются несравнимыми, поскольку первое из них имеет своим родом универсум чисел, а второе – универсум городов.

Среди всевозможных пар сравнимых понятий можно выделить три фундаментальных отношения в том смысле, что с их помощью возможно задать все остальные отношения. К числу фундаментальных принадлежат отношения совместимости, включения и исчерпывания.

Фундаментальные отношения:

1) Понятия aА(a) и aВ(a) находятся в отношении совместимости, если и только если пересечение их объемов А и В не пусто, то есть АÇВ ¹ Æ. Это означает, что в универсуме имеется по крайней мере один элемент, обладающий как признаком А(a), так и признаком В(a) ( например, А – студент, В – спортсмен).

2) Понятие aВ(a) находится к понятию aА(a) в отношении включения если и только если при вычитании объема aА(a) из объема aВ(a) получается пустое множество, то есть В\A = Æ. Это означает, что всякий элемент универсума, обладающий признаком В(a), обладает также признаком А(a) (например, А – учащийся, В – студент).

3) Понятия aА(a) и aВ(a) находятся в отношении исчерпывания, если и только если объединение их объемов А и В равно универсуму, то есть АÈВ = U. Это означает, что каждый элемент универсума обладает признаком А(a) или признаком В(a) (например, А – сын, В – дочь; каждый человек является чьим-то сыном или дочерью).

Вспомогательные отношения выводятся из фундаментальных. Наиболее важными из них являются: равнообъемность, подчинение, соподчинение, противоречие, дополнение, перекрещивание.

(1) А и В равнообъемны (2) А подчиняется В (3) А и В соподчиняются

 

А, В А В А В

 

 

(4) А противоречит В (5) А дополняет В (6) А и В перекрещиваются

 

 

А В А В А В

 

 

Обобщение и ограничение понятий

 

Помимо булевых операций, к понятиям часто применяются такие операции обобщение и ограничение. Они основаны на отношении типа «род-вид». Из двух непустых понятий одно считается родовым, а другое видовым, если второе находится в отношении подчинения к первому. Это отношение на формальном языке обозначается символом «Ì».

Например, из двух понятий aА(a) «европейский город» и aВ(a) европейская столица» первое является родовым, а второе – видовым. То есть, В Ì А. Интересно, что содержания этих понятий находятся в обратном отношении, а именно, содержание aА(a) является частью содержания понятия aВ(a). Этот факт известен в логике как закон обратного отношения.

Закон обратного отношения: объем понятия aА(a) составляет часть объема понятия aВ(a), если и только если содержание понятия aВ(a) является частью содержания понятия aА(a). На формальном языке: А Í В º А(a) É В(a)

Сравним, например, два понятия:

1) «студент, сдавший все экзамены» и

2) «студент, сдавший хотя бы один экзамен»

Объем первого понятия включается в

объем второго (среди студентов, сдавших

хотя бы один экзамен, есть такие, кто сдал 2 1

все экзамены). А вот содержания этих

понятий находятся в обратном отношении:

из содержания первого (сдать все экзамены)

логически следует содержание второго (сдать

хотя бы один экзамен).

Обобщением называют переход от видового понятия к родовому (то есть, от понятия с меньшим объемом и большим содержанием, к понятию с большим объемом и меньшим содержанием). Для непустых понятий пределом обобщения является универсальное понятие.

Например: «мужчина, который является президентом России» → «мужчина, живущий в Кремле» → «мужчина, живущий в Москве» → «мужчина, живущий в России» → «мужчина, живущий в деревне» → «мужчина»

Ограничением называют переход от родового понятия к видовому (то есть, от понятия с большим объемом и меньшим содержанием, к понятию с меньшим объемом и большим содержанием). Для непустых понятий пределом ограничения является единичное понятие.

Например: «человек» → «человек, живущий в Европе» → «человек, живущий в Москве» → «человек, живущий в ЗАО Москвы» → «человек, являющийся нынешним префектом ЗАО Москвы».

Деление и классификация

 

Важными логическими операциями являются деление и классификация понятий.

Деление понятия – это логическая операция, в результате которой совершают переход от родового понятия к множеству видовых понятий.Делениенекоторого непустого понятия aВ(a) – это переход от данного понятия к некоторой системе непустых понятий S = {aА₁(a), aА₂(a), …, aА_n(a)}, каждое из которых является видовым по отношению к исходному. В состав деления входят:

1) Делимое понятие – родовое понятие aВ(a), объем которого разбивается на классы.

2) Члены деления – видовые понятия aА₁(a), aА₂(a), …, aА_n(a), полученные в результате такого разбиения.

3) Основание деления – характеристика предметов, входящих в объем делимого понятия, модификация которой и порождает систему членов деления S.

В зависимости от выбранного основания деления, различают следующие виды деления: дихотомическое и по видоизменению основания.

В случае дихотомического деления родового понятия aВ(a) основанием деления является признак, присущий лишь части предметов, входящих в объем aВ(a). Деление осуществляется по наличию или отсутствию этого признака у предметов делимого понятия. Например, животные делятся на позвоночных и беспозвоночных.

Во втором случае в качестве основания деления используются варьируемые характеристики элементов объема делимого понятия (вес, цвет, объем, форма, величина и т.п.). Например, треугольники делятся на прямоугольные, остроугольные и тупоугольные.

Можно выделить основные правила деления.

Правило 1. Деление должно быть соразмерным, т.е. объем делимого понятия должен равняться сумме объемов членов деления. Объединение объемов членов деления должно совпадать с объемом делимого понятия.

При нарушении данного правила возникает ошибка под названием «неполное деление». Например, «Женщины делятся на шатенок и блондинок» (пропущены классы брюнеток, рыжих и т.д.). Простейший способ избежать этой ошибки – всегда включать в систему деления категорию «и прочие».

Правило 2. Все члены деления должны исключать друг друга, т.е. их объемы не должны иметь общих элементов.

При нарушении данного правила возникает ошибка «перекрещивающееся деление». Например, «Войны делятся на «захватнические», «освободительные» и «справедливые». Здесь в объем понятия «справедливые» входит понятие «освободительные».

Правило 3. Деление должно осуществляться по одному основанию.

При несоблюдении данного правила возникает ошибка «сбивчивое деление». Если деление сбивчивое, оно довольно часто оказывается также неполным или перекрещивающимся. Например, «Студенты делятся на «первокурсников», «третьекурсников» и «отличников». Здесь деление осуществлено по разным основаниям: по годам обучения и по качеству обучения.

Правило 4. Делениедолжно быть непрерывным, т.е. члены деления должны быть однопорядковыми видами. При этом каждое видовое понятие должно быть близким видом данного рода. При нарушении этого правила возникает логическая ошибка «прыжок в делении». Например, «Все экзамены делятся на «устные» и «письменные. В свою очередь письменные могут быть в виде выполнения тестов или письменного ответа на экзаменационные вопросы билета». В данном примере непрерывность деления соблюдена.

Деление понятий играет важную роль в такой форме систематизации логического знания, как классификация.

Классификация – результат многоуровнего, последовательного деления некоторого понятия на его рода, а родов на виды, а видов на подвиды и т.д. Классификации крайне важны в научных исследованиях, когда требуется привести полученные знания в единую стройную систему. Примеры классификации: периодическая система химических элементов Д. Менделеева, классификация общественно-экономических формаций К. Маркса

Для построения классификации можно использовать все виды логического деления.

Выделяют два вида классификации в соответствии с характером оснований, используемых в операциях делений: искусственную и естественную.

Искусственной считается классификация, в которой в качестве оснований деления используются второстепенные, несущественные характеристики предметов. Пример: телефонный справочник, тезаурус.

Естественной считается классификация, в которой в качестве оснований деления используются существенные характеристики предметов.

Существенными, как правило, называются те характеристики предмета, которые используются для теоретически научного описания этого предмета. Такие характеристики составляют его «сущность».