Передаточная функция. Амплитудно-частотная, фазово-частотная и амплитудно-фазовая характеристика

В теории управления передаточная функция непрерывной системы представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

Пусть — входной сигнал линейной стационарной системы, а — её выходной сигнал. Тогда передаточная функция такой системы записывается в виде:

,

где и — преобразования Лапласа для сигналов и соответственно:

,

В ТАУ наиболее часто используют следующие частотные характеристики:

· амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

· фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

· амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты

Фазовая частотная характеристика ФЧХ – зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты.

ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах.

Амплитудную и фазовую характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой функцию комплексного переменного jw:

W(jw) = A(w) e ^{jj (w)} (показательная форма)

где A(w) – модуль функции; j (w) – аргумент функции.

Основные понятия и принцип использования логарифмических и частотных характеристик.

Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и САУ в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Они находят применение в ТАУ, так как реальные возмущения, а следовательно и реакции на них элемента или САУ могут быть представлены как сумма гармонических сигналов.

В ТАУ наиболее часто используют следующие частотные характеристики:

· амплитудная частотная характеристика (АЧХ);

· фазовая частотная характеристика (ФЧХ);

· амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ).

Амплитудная частотная характеристика (АЧХ) – зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты

Фазовая частотная характеристика ФЧХ – зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты.

ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах.

Амплитудную и фазовую характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). АФЧХ представляет собой функцию комплексного переменного jw:

W(jw) = A(w) e ^{jj (w)} (показательная форма)

где A(w) – модуль функции; j (w) – аргумент функции. При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(jw) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно изменяется длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, и есть АФЧХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты

При практических расчетах САУ удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик.

За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду.

Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением частоты w_i и его десятикратным значением 10w_i.

Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1.

Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

L(w) = 20 lgA(w)

ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – беллах (Б) или децибеллах (дБ).