Лекція 5. Закони логіки. Доведення і спростування.

План:

Загальна характеристика законів мислення.

2. Основні закони логіки:

а) закон тотожності;

б) закон заборони суперечності;

в) закон виключеного третього;

г) закон достатньої підстави.

Логічна характеристика доведення. Структура доведень.

Види доведень.

Правила доведення.

 

 

Загальна характеристика законів мислення.

 

У широкому розумінні поняття «закон» фіксує необхідні, істотні, сталі, багаторазово повторювані зв’язки між явищами. Закони бувають різними: закони природи, юридичні закони і т. ін. Окремим видом законів є ті, що фіксують сталі зв’язки між думками.

Треба зазначити, що про існування необхідних зв’язків між предметами і явищами дійсності, і, відповідно, про наявність необхідного зв’язку між думками, які є їхнім відображенням у мисленні, люди здогадувались дуже давно. Але першим сформулював деякі закони мислення (логіки) Аристотель у IV ст. до н. е. Він підкреслив ту обставину, що дані закони мають універсальний (всезагальний) характер. Тобто, хоча ці закони і діють у сфері мислення окремої людини, насправді, вони не залежать від свідомості і волі окремих індивідів. Зрозуміло, будь-яка людина може свідомо або несвідомо порушувати логічні закони. Але це буде нічим іншим як помилкою. Якщо така людина надалі не виправить свої помилки, то вона не зможе адекватно сприймати навколишню дійсність і ефективно співпрацювати із іншими людьми. Тут можна навести наступний приклад, згадавши одного із героїв Ф.М.Достоєвського, якому дуже не подобалась істина, що «два помножене на два дорівнює чотирьом». Але незалежно від того, подобається це комусь, чи не подобається, судження: «2х2=4» не перестане бути істинним, щоб пересвідчитись у цьому, достатньо скласти дві купки по два однакові предмети у кожній, а потім порахувати загальну кількість предметів. Їх завжди буде чотири.

Закони мислення досліджуються логічними засобами. Сучасна логіка тлумачить закони мислення як завжди істинні (істинні за своєю логічною формою) судження.

 

 

Основні закони логіки.

 

У логіці за традицією визнають існування чотирьох основних законів: тотожності, заборони суперечності, виключеного третього і достатньої підстави. Перші три закони сформулював Аристотель, четвертий – німецький вчений і філософ Г.Лейбніц.

 

а) закон тотожності

Закон тотожності формулюється наступним чином: кожна думка (і її елементи) повинна залишатися незмінною у процесі одного і того ж самого міркування. Даний закон забороняє підміну понять у процесі міркування, а також багатозначність у науковій термінології.

Даний закон також можна сформулювати із використанням логічної символіки: «А®А» (читається: «Якщо А, тоді А»,), наприклад, «якщо ми знаходимося в Києві, тоді ми знаходимося в Києві»; «А«А» (читається: «Якщо і тільки якщо А, то А»), наприклад, «якщо і тільки якщо сьогодні вівторок, то сьогодні другий день тижня».

Можна навести табличне логіко-математичне визначення даного закону:

 

А	~А	А®А	А«А
І	Х	І	І
І	Х	І	І

 

Об’єктивною основою даного закону є те, що кожний предмет є тотожним самому собі (Г.Фреге стверджував, що розуміти дві речі як тотожні можна лише тоді, коли ми маємо один і той самий предмет, який по-різному називаємо). Але, крім того, і різні предмети можна у певній мірі ототожнювати, якщо вони мають спільні властивості. Наприклад, якщо людина знає, що таке вікно, то вона зможе порахувати кількість вікон в аудиторії. Таким чином, даний закон є фундаментальним для математики, особливо для теорії множин.

 

б) закон заборони суперечності

Другий закон логіки також часто називають: «законом суперечності» або «законом несуперечності». Краще називати його законом заборони суперечності, оскільки саме це складає його сутність. Закон заборони суперечності можна сформулювати (вслід за Аристотелем) наступним чином: «Два судження, в одному з яких ми щось стверджуємо, а в іншому те ж саме, в той же самий час, в тому ж самому відношенні заперечуємо не можуть бути одночасно істинними і одночасно хибними.»

Часто плутають логічну суперечність (контрадикторність) і логічну протилежність (контрарність). Наприклад, маємо наступне судження: 1. «Всі люди – поети». Це судження, очевидно, є хибним. Контрарним даному судженню буде наступне: 2. «Всі люди – не поети», яке також є хибним. Контрадикторним судженню 1. буде наступне: 3. «Не вірно, що всі люди – поети». Судження 3. на відміну від судження 2. є істинним.

Даний закон має логіко-математичний запис: «~(АÙ~А)» (читається: «Невірно, що може одночасно бути А і не-А»), наприклад, «невірно, що одночасно сьогоднішній день може бути суботою і несуботою». Представимо табличне визначення даного закону:

 

А	~А	АÙ~А	~(АÙ~А)
І	Х	Х	І
І	Х	Х	І

 

Даний закон має надзвичайно велике значення в практичній життєдіяльності людей. На дії цього закону, наприклад, ґрунтується юридичний принцип алібі. Якщо доведено, що підозрюваний, під час скоєння злочину знаходився не на місці злочину, а в іншому, то цим автоматично доводиться, що даний підозрюваний є невинним.

Якщо у наших знаннях з’являються суперечності, це означає, що ці знання неадекватно відображають дійсність і їх необхідно переглянути.

 

в) закон виключеного третього

Закон виключеного третього можна сформулювати наступним чином: «Із двох суперечливих суджень, одне завжди буде істинним, друге завжди буде хибним, а третього бути не може». Інакше кажучи, якщо певне судження є істинним, то заперечення даного судження буде хибним і, навпаки, якщо певне судження є хибним, то заперечення даного судження буде істинним. Даний закон має логіко-математичний запис: «А Ú ~А» (читається: «А або невірно, що А»), наприклад, «Ірпінь є містом Київської області, або невірно, що Ірпінь є містом Київської області».

Представимо табличне визначення цього закону:

 

А	~А	А Ú ~А
І	Х	І
І	Х	І

 

Ми бачимо, що у його формулюванні використовується сполучник строгої диз’юнкції, тобто альтернативи виключають одна одну.

Даний закон використав Евклід для побудови своєї геометрії. Істинність теорем доводилась наступним чином: спочатку висувалось певне припущення 1 (теорема), потім робилось припущення, що судження 1 було невірним, а, натомість, вірним є судження 2, яке заперечувало судження 1. У результаті певних міркувань доводили, що судження 2 суперечить доведеним раніше положенням і тому є хибним. Тим самим Евклід доводив, що істинним є судження 1.

 

г) закон достатньої підстави

Закон достатньої підстави був сформульований Г.Лейбніцем наступним чином: 1) «Ніщо не відбувається без причини, тобто повинна існувати необхідна причина, чому існує саме це, а не інше», або 2) «Жодне твердження не може виявитися істинним чи справедливим без достатньої підстави, чому справа відбувається саме таким, а не іншим чином, хоча у більшості випадків ці підстави полишаються для нас невідомими».

Фактично цей закон є правилом, яке ми можемо сформулювати наступним чином: «Будь-яке судження повинне мати достатню підставу, внаслідок якої воно оцінюється як істинне, а не як хибне». Прикладом дії цього закону може слугувати ситуація, коли людину просять назватися, а потім надати документ, який засвідчує особу.

Даний закон не має простої логіко-математичної формули, як попередні. Іноді стверджують, що даний закон взагалі не можливо формалізувати. Але таке твердження не відповідає дійсності. Цей закон можна формалізувати у логіці предикатів другого порядку, яку ми не розглядаємо у межах пропонованого курсу.

Окрім розглянутих вище чотирьох основних законів, у логіці існує необмежена кількість інших законів, які називаються логічними тавтологіями (завжди істинними судженнями; судженнями, що є істинними завдяки своїй формі). Серед таких законів є «закон подвійного заперечення» (цей закон має чотири формули: «~~А®А», «А®~~А», «~~А«А» та «А«~~А»); закони де Моргана («AÚ(AÙB)«A», «AÙ(AÚB)«A», «~(AÙB)«~AÚ~B» та «~(AÚB)«~AÙ~B»); закони комутативності («AÙB«BÙA» та «AÚB«BÚA»); закони дистрибутивності («AÙ(BÚC)«(AÙB)Ú(AÙC)» та «AÚ(BÙC)«(AÚB)Ù(AÚC)»); закон контрапозиції («A→B«~B→~A»); закони ідемподентності («AÙA«A» та «AÚA«A»); асоціативності («AÙ(BÙC)«(AÙB)ÙC» та «AÚ(BÚC)«(AÚB)ÚC») та ін.

Окрім тавтологій існують також суперечливі (завжди хибні) і виконувані (можуть бути істинними і хибними, залежно від певного набору істиннісних значень елементарних суджень, що входять до їх складу) судження. Для того, щоб пересвідчитись, чи є те або інше судження тавтологією, суперечністю або виконуваним, необхідно вирішити його методом таблиць істинності.

Наприклад, спробуємо вирішити наступні судження: 1) (~А®~В)Ú(А®В); 2) (АÚ~А)®(ВÙ~В); 3) (~А®Ù~В)®(АÙВ). Побудуємо для них відповідні таблиці істинності:

Таблиця для (~А®~В)Ú(А®В):

А	В	(~А	®	~В)	Ú	(А	®	В)
І	І	Х	І	Х	І	І	І	І
І	Х	Х	І	І	І	І	Х	Х
Х	І	І	Х	Х	І	Х	І	І
Х	Х	І	І	І	І	Х	І	Х

 

Таблиця для (АÚ~А)®(ВÙ~В):

 

 

А	В	(А	Ú	~А)	®	(В	Ù	~В)
І	І	І	І	Х	Х	І	Х	Х
І	Х	І	І	Х	Х	Х	Х	І
Х	І	Х	І	І	Х	І	Х	Х
Х	Х	Х	І	І	Х	Х	Х	І

 

Таблиця для (АÙ~В)®(ВÙ~А):

А	В	(А	Ù	В)	®	(В	Ù	~А)
І	І	І	Х	Х	І	І	Х	Х
І	Х	І	І	І	Х	Х	Х	Х
Х	І	Х	Х	Х	І	І	І	І
Х	Х	Х	Х	І	Х	Х	Х	І

 

Таким чином, вирішивши ці судження за допомогою методу таблиць істинності, ми переконались, що судження 1) (~А®~В)Ú(А®В) є законом логіки (тавтологією); судження 2) (АÚ~А)®(ВÙ~В) є суперечністю; а судження 3) (АÙ~В)®(ВÙ~А) є виконуваним.