Геометрический смысл производной

а) Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y=f(x), дифференцируемой в

точке x0 (рис. 13). Проведем через точки M0(x0,y0) и M(x0+▲x, y0+▲y) графика прямую l, и пусть

B(угол Бэтта) - угол ее наклона к оси х. Тогда (1)▲y/(деленный)▲x=tg B(бэтта)

 

 

Рис. 13.

Если ▲x стремится к нулю, то ▲y также стремится к нулю, и точка M приближается к точке M0, а

прямая l - к касательной l0(эль нулевая), образующей с осью x угол α(альфа). При этом

равенство (1) принимает вид: (2) f ’(x0)=tgα’ откуда следует, что производная функции в точке

равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Понятие дифференцируемости ф-ии

Df: Ф-ия дифференцируема в точке х₀, если приращение ф-ии в точке сможет быть представлено в виде:

, А – const.

Dh: Для дифференцирования ф-ии в т. х₀, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная.

Доказательство: (необходимость)

(достаточность):

Непрерывность и диф.

Понятие дифференциала ф-ии. Геом.смысл приблеженных вычислений с помощью dy

Опр. Дифференциалом ф-ии y=f(x) в точке х0 н-ся главная, линейная от-но ▲х, часть приращенная ф-ии в этой точке. Для обозначения дифференциала ф-ии используют символ dy.

Из Df дифференцируемости следует, что приращение дифф. ф-ии можно представить в виде

Из равенства нулю предела следует, что - б.м. более высшего порядка малости, чем , и

Поскольку - б.м. одного порядка малости.

- б.м. одного порядка малости - б.м. эквивылентные, т.е.

Пусть

 

**************

Zm1: и х – независимые переменные, т.е.

Zm1: для независимых переменных.

Правила диференц суммы,разн,произв,частн

1) ;

2) , где - постоянная;

3) ;

4) ;

5) если , а , то производная сложной функции находится по формуле

,

где индексы указывают, по какому аргументу производится дифференцирование.

38.Вычислен производных элемент.ф-ий: x^n,nЄN,cos,sin,tg,ctg, loga(основание)Х(а>0,a≠1,x>0)

Th о произв сложной ф-ии

Пусть:

1. - дифф. в точке y₀.

2. - дифф. в точке х₀.

3.

тогда сложная ф-ия - дифф. в точке х₀ и справедлива формула:

Доказательство:

1. - дифф. в точке y₀

2. - дифф. в точке х₀

3. - дифф. в точке х₀ а значит непрерывна в этой точке .

40.Производная ф-ий x^α, αЄR(прием логарифм. Диф)

Th о производной обратной ф-ии

Предложение: Если производная обратной функции g для ф-ции f существует в точке y₀, то g’(y₀)=1/f’(x₀), где y₀=f(x₀)

Доказательство: g(f(x))=x g’(f(x))=1

g’(f(x₀))=g’(f(x₀))*f’(x₀)=1, g’(f(x₀))=g(y₀)=1/f’(x₀)

Теорема: Пусть ф-ция f строго монотонно и непрерывно отображает (a,b) в (а,b) тогда $ обратная ей ф-ция g, которая строго монотонно и непрерывно отображает (а,b) в (a,b). Если f диф-ма в точке x₀Î(a,b) и f’(x₀)¹0, то g диф-ма в точке y₀=f(x₀) и g’(y₀)=1/f’(x₀)

Доказательство:

Возьмем произвольную последовательность сходящуюся к y₀: y_N®y₀, y_N¹y₀ => $ посл-ть x_N: x_N=g(y_N), f(x_N)=y_N

g(y_N)-g(y₀)/y_N-y_O = x_N-x_O/f(y_N)-f(y_O) = 1/f(y_N)-f(y_O)/x_N-x_O ® 1/f’(xo) при n®¥, получили при x_N®x_O g(y_N)-g(y_O)/y_N-y_O®1/f’(x_O) => g’(у_O)=1/f’(x_O)

42.Произв ф-ии: arcsinx,arccosx,arctgx,acctgx,a^x(a>0,a≠1)

1) x®Arcsin x по теореме имеем Arcsin’x=1/Sin’y, где Sin y=x при условии, что Sin’y<0, получаем (используя производную синуса): Arcsin’x=1/Cos y, т.к. Arcsin: [-1,1]®[-П/2,П/2] и Cos:[-П/2,П/2]®[0,1], то Cos y³0 и, значит Arcsin’x = 1/Cos y = 1/(1-Sin²y)^1/2 = 1/(1-x²)^1/2

2) x®Arccos’x = -1/(1-x²)^1/2

3) x®Arctg’x = 1/1+x²

4) x®Arcctg’x= -1/1+x²

5) y=a^x(в степени х) y ‘ =a^xlna Док-во:y=a^x является обратной для ф-ии x=loga(a-основание)y. Т.к. x’(y)=(1/y)loga(a-осн)e, то из соотношения loga(a-OCH)b=1/logb(b-OCH)a получим y’(x)=1/x’(y)=y/loga(a-OCH)e=a^x(в степени х)lna

Производная высших порядков

Определение: Если ф-ция f диф-ма в некоторой окрестности точки x_O, то ф-ция f’(x):x®f’(x) в свою очередь может оказаться диф-мой в точке x_O или даже в некоторой ее окрестности. Производная ф-ции f’(x) - называется второй производной (или производной порядка 2) ф-ции f в точке x_O и обознача ется f”(x). Аналогично определяется третья и четвертая производная и так далее. Для единообразия обозначаем через f^N(x_O) - производную порядка n функции f в точке x_O и при n=0 считаем f⁰(x_O)=f(x_O).

Замечание: Cуществование производной порядка n требует того чтобы существовала производная пордка (n-1) уже в некоторой окрестности точки x_O (следует из теоремы о связи диф-ти и непрерывности), в таком случае функция x®f^N-1(x) непрерывна в точке x_O, а при n³2 все производные порядка не выше (n-2) непрерывны в некоторой окрестности точки x_O.

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)). Если существуют производные у’(х) и х’(t) то cуществует производная у’(t)=у’(х)*х’(t).

Пусть функции у=f(х) и х=g(t) таковы, что из них можно составить сложную функцию у=f(g(t)) Если существуют производные у’(х) и х’(t) то существует производная у’(t)=у’(х)*х’(t)

+нужно док-во