Виртуальные (возможные) перемещения голономных систем

Связи и их классификация

Свободная материальная точка

Несвободная материальная точка

Свободная материальная система

Несвободная материальная система

Связь – все то, что ограничивает перемещение системы в пространстве.

(1)

В зависимости от уравнения (1) существуют связи:

1. Удерживающая связь f=0 (описывается уравнением)

Неудерживающая связь f<0(описывается неравенством)

2. Нестационарная, реономная связь (связь зависит от времени)

3. Кинематическая связь

Голономная связь:

1) Интегрированная (голономная)

2) Неинтегрированная (неголомная)

4. Силеронная (стационарная)

Время не входит

 

Виртуальные (возможные) перемещения голономных систем

Голономные системы – системы, в которых встречаются только голономные связи.

При некотором :

(1)

С точностью до первого порядка малости, уравнение (1) говорит, что точка М будет находиться на поверхности связи.

Виртуальным перемещением точки наз. такое малое перемещение мысленно осуществляемое из данного положения при фиксированном времени t, которое с точностью до членов первого порядка малости включительно не нарушат связи.

 

Идеальные связи

Идеальные связи – связи, работа которых на виртуальном перемещении системы равна нулю.

или , при выполнении этих условий связь идеальна.R_k-равнодействующая реакции связей

Если силу трения перевести в активные силы, т.е. , то и поверхность с трением будет идеальной связью.

 

Обобщенные координаты; число степеней свободы системы.

Обобщенные координаты – это S независимых параметров любой размерности, однозначно определяющих положение системы в пространстве.

S = 3n – h (n-кол-во матер. точек, h-число голономн. связей)

Число степеней свободы - это число независимых вариаций координат , однозначно определяющих положение системы в пространстве.

(m – число неголомных связей)

У свободного тела шесть степеней свободы.

 

Действительное и возможное перемещения при стационарных и нестационарных связях

- возможное (виртуальное) перемещение – малое, мысленное перемещение, допускаемое связями с точностью до величин первого порядка малости.

Если в уравнение связи время не входит явно, то такая связь называется стационарной (склерономной):

Если в уравнение связи время входит явно, то такая связь называется нестационарной (реономная):

При стационарных связях действительное перемещение совпадает с одним из возможных перемещений. При нестационарной связи действительное перемещение может не совпадать ни с одним из возможных перемещений.

Виртуальные перемещения - возможные перемещения материальных точек системы, допускаемые мгновенно (в момент t) связями, из одной точки по разным траекториям в один и тот же момент времени.

, u=1,2,…,n; i=1,2,…,n

зависит только от связей.

Действительное перемещение материальных точек системы есть возможное перемещение, определяемое связями и уравнениями движения

зависит от связей и от сил.

а возможное перемещение только от связей.

 

Устойчивость состояний равновесия: теорема Лагранжа – Дирихле, принцип Торичелли, теорема Ляпунова

По Ляпунову: Устойчивое состояние равновесия системы такое, когда при малом начальном отклонении системы все ее точки будут двигаться не уходя от положения равновесия далее наперед заданного расстояния.

Теорема Лагранжа – Дирихле: При устойчивом равновесии системы ее потенциальная энергия принимает миним. значение

Ограничения: 1) Силы потенциальны

2) Связи голономны, идеальны, стационарны

Принцип Торичелли: При устойчивом равновесии системы ее центр тяжести занимает наинизшее положение.

Ограничения: 1) Силы – силы тяжести

2) Связи идеальны, голономны, стационарны

Теорема Ляпунова:

Равновесие системы неустойчиво, если отсутствие минимума потенциальной энергии системы обнаруживается уже по членам второго порядка в разложении в ряд Тейлора

 

Обобщенные силы

К понятию обобщенные силы приводят преобразование элементарной работы сил и выражают через обобщенные координаты. (1)

Три способа вычисления обобщенных сил:

1. На основе (1):

2. Задается

Множитель Q при изменении обобщенной координаты

В выражении для виртуальной работы активных сил системы наз. обобщенной силой, соответствующей начальной координате

3. Для потенциальных сил.

Обобщенная сила в консервативной системе равна частичной производной потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате, взятой с обратным знаком.

Условия равновесия в обобщенных координатах.

Согласно принципу возможных перемещений .

(2)

, Т.к. , то (3)

Одно вариационное выражение (2) эквивалентно «S» алгебраическим уравнениям (3).

Для равновесия голономных систем необходимо и достаточно, чтобы все вариационные системы были равны нулю.

Частный случай: для потенциальных сил:

 

Общее уравнение динамики

(1) – общее уравнение динамики

Уравнение (1) запишем в виде:

- общее уравнение динамики – принцип Доломбера - Лагранжа:

При движении механической системы с идеальными связями работа всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

 

Уравнение Лагранжа II рода

Из формулы :

Связи идеальные:

Силы только потенциальны:

(кинетический потенциал, функция Лагранжа)

Обыкновенное однородное ДУ 2-го порядка (с нулевой правой частью):

“2S”

Число уравнения равно числу степеней свободы.

 

Виртуальная работа

Виртуальная работа – работа сил на виртуальных перемещениях системы

Пусть система материальных точек занимает в некоторый момент

времени t какое-то положение. Обозначим через F_k силы, приложенные к точкам системы. Из данного положения при фиксированном времени t, сообщим системе виртуальное перемещение δr_k. Будем считать, что на этом перемещении силы F_k, приложенные к системе, не изменяются.

Составим сумму работ этих сил на вирт. перемещении δr_k

 

14. Интеграл движения: обобщенный интеграл движения

f (где С - константа)

Интеграл системы уравнений (1), или интегралом движения, или первым интегралом, если при подстановке вместо решений системы (1), функция f обращается в константу.

Системы уравнений (1) может иметь не более “2S” – первых интегралов.

Первые интегралы уравнений Лагранжа II-го рода бывают 2-х видов:

1)Обобщенные интегралы энергии.

2)Циклический интеграл.

L от времени не зависит

(2) - обобщенный интеграл энергии или интеграл Якоби

Допущение:

- обычный интеграл

Консервативная система – система, которая обладает обычным интегралом энергии.

Из (2) сумма отбрасывается: первый интеграл получается из (2):

 

Задача Циолковского

(1)

- реактивная сила

-расчет тяги

S- площадь сопла,

p(x)- давление атмосферное, р- давление газа.

Из (1):

Ракета летит в пустоте:

(2)

- эффективная скорость истечения

Из (2):

- силы тяготения

 

 

Формула Циолковского

Пренебрежем влиянием силы тяготения. Из :

Пусть

– эффективная скорость истечения

Н. у. t=0,

- формула Циолковского

- число Циолковского

- стартовый вес ракеты

- формула Циолковского

 

Связи и их классификация

Свободная материальная точка

Несвободная материальная точка

Свободная материальная система

Несвободная материальная система

Связь – все то, что ограничивает перемещение системы в пространстве.

(1)

В зависимости от уравнения (1) существуют связи:

1. Удерживающая связь f=0 (описывается уравнением)

Неудерживающая связь f<0(описывается неравенством)

2. Нестационарная, реономная связь (связь зависит от времени)

3. Кинематическая связь

Голономная связь:

1) Интегрированная (голономная)

2) Неинтегрированная (неголомная)

4. Силеронная (стационарная)

Время не входит

 

Виртуальные (возможные) перемещения голономных систем

Голономные системы – системы, в которых встречаются только голономные связи.

При некотором :

(1)

С точностью до первого порядка малости, уравнение (1) говорит, что точка М будет находиться на поверхности связи.

Виртуальным перемещением точки наз. такое малое перемещение мысленно осуществляемое из данного положения при фиксированном времени t, которое с точностью до членов первого порядка малости включительно не нарушат связи.

 

Идеальные связи

Идеальные связи – связи, работа которых на виртуальном перемещении системы равна нулю.

или , при выполнении этих условий связь идеальна.R_k-равнодействующая реакции связей

Если силу трения перевести в активные силы, т.е. , то и поверхность с трением будет идеальной связью.