Раздел II. Линейная алгебра.

Тема 7. Матрицы и определители.

7.1. Найти матрицу С=-5А+2В:

а) ; б) .

7.2. Найти произведения матриц:

а)

в)

7.3. Найти те из произведений матриц АВ и ВА, которые существуют:

7.4. Найти матрицу и ее след:

7.5. Найти следы следующих матриц:

а) С=АВ, где

б) С=АВ и D=ВА, где

7.6. Найти значение многочлена f(x) от матрицы А:

а) f(x)= . б) f(x)= .

7.7. Выяснить, являются ли взаимно обратными данные матрицы А и В:

а) б)

7.8. Вычислить определители второго порядка:

а)

7.9. Вычислить определители третьего порядка:

7.10. Доказать тождества:

а)

7.11. Решить уравнения:

а) б)

7.12. Вычислить определитель:

а) разлагая его по элементам 3-й строки,

б) разлагая его по элементам 1-го столбца,

7.13. Вычислить определители 4-го порядка:

а) с)

7.14. Найти обратную матрицу двумя способами – с помощью присоединенной матрицы и с помощью элементарных преобразований:

а) с)

7.15. Найти ранги матриц:

7.16. Три завода выпускают четыре вида продукции. Необходимо: а) найти матрицу выпуска продукции за квартал, если заданы матрицы помесячных выпусков ; б) найти матрицы приростов выпуска продукции за каждый месяц и проанализировать результаты:

7.17. Предприятие производит n типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей Цена реализации единицы i-го типа продукции в j-м регионе задана матрицей , где k— число регионов, в которых реализуется продукция. Найти С – матрицу выручки по регионам.

Определить, какой из трех регионов наиболее выгоден для реализации товара.

7.18. Предприятие производит три типа продукции, используя два вида ресурсов. Норма затрат ресурсов i-го вида на производство единицы продукции j-го типа задана матрицей затрат А, выпуск продукции за квартал – матрицей X, стоимость единицы каждого вида ресурсов задана матрицей P. Найти: 1) матрицу S полных затрат ресурсов каждого вида; 2) полную стоимость всех затраченных ресурсов.

 

Тема 8. Системы линейных уравнений

Методом обратной матрицы и по формулам Крамера решить системы уравнений:

8.1.

8.7.

Методом Гаусса решить системы уравнений:

8.9.

Решить (любым методом) систему уравнений, заданную в виде АХ=В, где А—матрица системы, В—столбец свободных членов:

8.17.

Решить матричные уравнения:

8.21.

8.23.

8.25.

8.26.

Методом Гаусса решить системы линейных уравнений и найти все базисные решения:

Методом Жордана-Гаусса решить системы уравнений:

Тема 9. Векторы на плоскости и в пространстве

9.1. Найти координаты вектора , если .

9.2. Доказать ортогональность векторов .

9.3. Вычислить косинус угла, образованного векторами , .

9.4. Даны векторы -- единичные векторы, образующие угол в . Найти угол между векторами .

9.5. В плоскости находятся три вектора . Известно, что . Найти длину вектора .

9.6. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .

9.7. Определить длины векторов, на которых построен параллелограмм с диагоналями .

9.8. При каких значениях векторы : а) коллинеарны?, б) ортогональны?

9.9. На плоскости Oxy построить векторы . Разложить геометрически и аналитически вектор по векторам .

9.10. Даны три вектора: . Найти координаты вектора и разложить его по векторам .

9.11. Даны четыре вектора: Разложить вектор по векторам .

9.12. При каком значении m векторы перпендикулярны?

9.13. Выяснить, являются ли векторы линейно зависимыми.

9.14. Разложить вектор по базису , где .

Тема 10. n-мерные векторы

10.1. Среди векторов найти: а)коллинеарные; б) ортогональные.

10.2. В некотором базисе заданы векторы =(-2;1;0), =(1;-1;0), =(0;1;2). Выяснить, является ли вектор =(2;3;4) линейной комбинацией векторов .

10.3. В некотором базисе даны векторы . Найти все значения т, при которых вектор b=(1;m) в том же базисе является линейной комбинацией векторов .

10.4. В некотором базисе даны векторы =(1;2;1), =(2;1;1), =(-1;-2;-1). Найти все значения m, при которых вектор b=(2;3;m) линейно выражается через векторы .

10.5. Выяснить, являются ли линейно зависимыми или линейно независимыми векторы: .

10.6. Выяснить, являются ли линейно зависимыми или линейно независимыми векторы: .

10.7. В базисе даны векторы : а) доказать, что векторы образуют базис; б) найти координаты вектора в базисе .

10.8. Выяснить, образуют ли базис трехмерного пространства векторы: .

10.9. Выяснить, образуют ли базис четырехмерного пространства векторы: .

10.10. В базисе задан вектор x=(4;0;-12). Найти координаты этого вектора в базисе .

10.11. Найти матрицу перехода от базиса к базису .

10.12. Дана матрица перехода от базиса к базису . Найти координаты векторов в базисе .

10.13. Дана матрица перехода от базиса к базису . Найти координаты векторов в базисе .

10.14. Предприятие выпускает три вида продукции в количестве 15, 25, 40 штук, реализуемых по ценам 30, 40, 50 усл. ед. соответственно. Найти выручку предприятия от реализации продукции и ее изменение, при изменении цен продукции соответственно на +5, -3, +2 усл.ед.