Спектри періодичних і неперіодичних сигналів

Відомо, що будь-яка періодична функція, яка задовольняє умови Діріхле, може бути подана у вигляді нескінченної у загальному випадку суми гармонічних складових – рядом Фур’є. Умова Діріхле полягає у тому, що: функція повинна бути обмеженою, кусочно-неперервною та мати протягом періоду скінченне число екстремумів.

Відомо дві форми розкладання в ряд Фур’є: тригонометрична й комплексна. Тригонометрична форма розкладання виражається у вигляді

,

де – постійна складова функції ;

– -та гармонічна складова;

– амплітуда, частота та початкова фаза -тої гармонічної складової;

– частота основної (першої) гармоніки;

T – період зміни функції .

В математичному відношенні зручніше оперувати комплексною формою ряду Фур’є, поданою у вигляді

,

де – комплексна амплітуда гармонічної складової частоти .

Комплексна амплітуда визначається через тимчасову функцію за допомогою формули

.

Сукупність амплітуд і відповідних частот гармонік прийнято називати спектром амплітуд.

Сукупність початкових фаз і відповідних частот гармонік називають спектром фаз.

На рис. 3.1. подані графічні зображення спектра амплітуд і спектра фаз періодичного сигналу.

Окремі спектральні складові у графічному зображенні спектра амплітуд називають спектральними лініями.

Рисунок 3.1 – Графічні зображення спектра амплітуд і спектра фаз періодичного сигналу

Будь-який неперіодичний сигнал можна розглядати як періодичний, період зміни якого дорівнює нескінченності. У зв’язку з цим розглянутий раніше спектральний аналіз періодичних процесів може бути узагальнений і на неперіодичний сигнал.

Розглянемо як буде змінюватись спектр неперіодичного сигналу при необмеженому збільшенні періоду зміни сигналу. При збільшенні періоду інтервали між суміжними частотами в спектрі сигналу і амплітуди спектральних складових зменшується і в границі при стають нескінченно малими величинами. При цьому спектральний розклад неперіодичного сигналу відображається рядом Фур’є.

Комплексна форма неперіодичного сигналу має вигляд

,

де – спектральна щільність сигналу;

– амплітудно-частотна характеристика сигналу;

– фазочастотна характеристика сигналу.

Попередній вираз називається формулою оберненого перетворення Фур’є.

Подання неперіодичної функції інтегралом Фур’є можливе при виконанні таких умов:

1) функція задовольняє умову Діріхле;

2) функція абсолютно інтегрована

.

Таким чином, спектр неперіодичного сигналу, на відміну від спектра періодичного сигналу, є суцільним і являє собою суму нескінченної кількості гармонічних складових із нескінченно малими складовими.

Амплітуди гармонічних складових можуть бути подані у такому вигляді

,

звідки спектральна щільність визначається виразом

.

Спектральна щільність пов’язана з функцією часу через пряме перетворення Фур’є

.

Спектральна щільність однозначно відображає неперіодичний сигнал і задовольняє умову: .

Модуль спектральної щільності є парною, а аргумент непарною функцією частоти

.

Спектри одиничних та періодичних імпульсних послідовностей

Аналіз перехідних процесів в колі при дії на нього складної (негармонічної) ЕРС класичним методом виявляється досить складним. Більш зручними в таких випадках є методи, основані на спектральному поданні зовнішньої ЕРС і принципі суперпозиції. Тому, перш ніж переходити до аналізу таких перехідних процесів, розглянемо спектри деяких найбільш важливих для радіотехніки періодичних та неперіодичних ЕРС.

Будь-яку функцію , задану в інтервалі , і яка періодично повторюється з частотою , де – період повторення, та таку, що задовольняє умову Діріхле, можна подати рядом Фур’є, який можна записати або в тригонометричній формі

де ,

або в комплексній формі

,

де – комплексна амплітуда -ї гармонічної складової;

– модуль цієї величини, чи просто амплітуда;

– початкова фаза -ї гармонічної складової.

Величина – середнє за період значення функції чи постійна складова складної ЕРС

.

Розглянемо основні величини, що характеризують спектр складної періодичної ЕРС. Комплексна амплітуда, яка входить в ряд Фур’є, визначається як

.

Залежність модуля комплексної амплітуди від частоти зображають у вигляді графіка, який називається амплітудно-частотним спектром (рис. 3.2, а). Тут кожній частоті відповідає лінія, величина якої вказує амплітуду гармонічної складової.

Залежність початкової фази від частоти зображають у вигляді фазочастотного спектра (рис. 3.2, б). Як видно з рис. 3.2, для складної періодичної ЕРС, спектр є лінійчатим чи дискретним. Тут лінії розміщенні по шкалі частот так, що відділені на відстань , яка дорівнює частоті повторення ЕРС. Зберігаючи незмінним амплітудно-частотний спектр, але змінюючи вигляд фазочастотного спектра, ми тим самим змінюємо форму складної періодичної ЕРС, яка зображена цими спектрами. При розгляді спектра складної ЕРС часто обмежуються одним графіком, на якому
зображено амплітудно-частотний спектр з вказуванням фаз гармонічних складових.

Рисунок 3.2 – Амплітудно-частотний та фазочастотний спектри

Теорема про суму спектрів і теорема запізнення дозволяють обчислити спектр групи однакових рівновідстаючих імпульсів. Нехай є два однакових імпульси і , розділених інтервалом часу . Можна записати спектральну функцію другого імпульсу через спектральну функцію першого:

.

Тоді на основі виразу для спектральної функції суми двох імпульсів отримаємо:

де .

Зі збільшенням кількості імпульсів спектр групи імпульсів наближається за структурою до лінійчатого спектра періодичної послідовності імпульсів.

Практично всі канали зв’язку мають обмежену смугу пропускання. Отже, при передачі сигналу через реальний канал зв’язку може бути передана лише частина його частотного спектра.

За практичну ширину спектра сигналу приймають діапазон частот, в межах якого знаходиться найбільш вагома частина спектра сигналу. Вибір практичної ширини спектра сигналу визначається двома критеріями: енергетичним критерієм та критерієм допустимих спотворень форми сигналу.

Розглянемо для прикладу послідовність прямокутних імпульсів тривалістю , амплітудою h, із періодом проходження Т (рис. 3.3).

Рисунок 3.3 – Прямокутні імпульси

Розклад в ряд Фур’є періодичної послідовності прямокутних імпульсів подаєтьсяу вигляді

.

Спектр амплітуд такого сигналу показаний на рис. 3.4.

Рисунок 3.4 – Спектр амплітуд

Обвідна його визначається рівнянням

,

де – для К -ої гармоніки.

Можна показати, що для періодичної послідовності імпульсів прямокутної форми тривалістю достатньо практичну ширину спектра вибрати рівною . В цій області частот зосереджено 95% всієї потужності сигналу. Розглянемо одиничний прямокутний імпульс тривалістю Т та величиною h, спектральна щільність такого сигналу визначається виразом

.

Енергія сигналу, зосереджена в смузі частот від 0 до ,

.

Для оцінювання впливу ширини смуги пропускання каналу зв’язку на викривлення форми сигналів розглянемо проходження прямокутного імпульсу тривалістю Т та величиною U через канал зв’язку, що являє собою ідеальний фільтр низьких частот. Коефіцієнт передачі цього фільтра виражається залежністю: , при цьому в діапазоні частот модуль коефіцієнта передачі і аргументу ; поза цим діапазоном .

В теорії кіл показано, що вихідний сигнал в цьому випадку може бути поданий в аналітичному вигляді

.

Форми переднього й заднього фронтів імпульсу спотворюються однаково. На рис. 3.5 показана форма переднього фронту вихідного сигналу.

Рисунок 3.5 – Форма переднього фронту вихідного сигналу

Щоб вихідний сигнал зміг досягнути найбільшого значення, активна тривалість переднього фронту повинна бути не більша тривалості вхідного імпульсу . При цьому, як показав аналіз, повинна бути справедлива умова або .

Дискретне перетворення Фур’є

Припустимо, що замість функції неперервної змінної задано функцію дискретної змінної на рівномірній гратці (рис. 3.6), тобто задано значення функції для скінченної послідовності значень аргументу – таблиця функції Тут за допомогою позначено крок гратки – відстань між сусідніми вузлами.

Перетворення Фур’є такої функції можна означити як суму

Рисунок 3.6 – Дискретний сигнал та модуль його спектра

Варто зазначити, що недоцільно використовувати суму з кількістю членів, більшою за кількість вузлів гратки.