Полупроводники. Эффект Холла

Основные формулы

· Собственная электропроводимость полупроводника

s = е (n _n b _n + n _p b _p) = e n (b _n + b _p),

где е –заряд электрона, n _n и n _p, b _n и b _p концентрация и подвижность электронов и дырок соответственно.

· Зависимость удельной электропроводности полупроводника от температуры

s = s₀ ехр(- W _g/(2 kT)),

где s₀ - удельная электропроводность при Т = 0 К; W _g –ширина запрещенной зоны

· энергия Ферми у собственных полупроводников

W_F = ½ W_g + ¾ kT ln(m _p/ m _n),

где - m _p и m _n эффективные массы дырки и электрона, находящихся в зоне проводимости.

· Напряжение на гранях образца при эффекте Холла

U_H = R_H Bj l,B,

где R_H - постоянная Холла, м³/ Кл; В – индукция магнитного поля, Тл; j- плотность тока, А/м²; l - ширина пластины, м.

· Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, кремния, германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (n или p)

R_H = 3p/(8 en), здесь n – концентрация носителей заряда.

Задачи

1. Ширина запрещенной зоны собственного полупроводника DW= 0,33 эВ. Найдите, во сколько раз возрастет электропроводность этого полупроводника при повышении его температуры от 7 °С до 57 °С. Постоянная Больцмана k =1,38∙10^-23Дж/К.

2. При температуре 500 К натуральный логарифм удельной проводимости
некоторого полупроводника равен 2, а при температуре 1000 К он равен 8.
Найдите по этим данным ширину запрещенной зоны полупроводника.
Постоянная Больцмана k =1,38∙10^-23Дж/К.

3. Найдите минимальную энергию образования пары электрон-дырка в
собственном полупроводнике, проводимость которого возрастает в 5 раз при
увеличении температуры от 300 К до 400 К. Постоянная Больцмана k =1,38∙10^-23Дж/К.

4. Удельное сопротивление полупроводника n -типа при 200 К равно 1 Ом∙м, а при 500 К - в е раз меньше (е-основание натуральных логарифмов). Найдите по этим данным энергию активации (в эВ) этого полупроводника. Постоянная Больцмана k =1,38∙10^-23Дж/К.

5. При нагревании образца кремния от 0 °С до 18 °С его удельная проводимость
увеличилась в 4,24 раза. Найдите ширину запрещенной зоны кремния (в эВ).

6. При некоторой температуре удельное сопротивление германия, являющегося
собственным полупроводником, равно 0,48 Ом/м. Найдите концентрацию
носителей тока, если подвижности электронов и дырок соответственно равны
0,36 и 0,16 м²/(В∙с). е = 1,6∙10 ^-19 Кл.

7. Для чистых металлов зависимость удельного сопротивления от температуры
имеет вид: r =r₀(1+at), где r₀-удельное сопротивление при 0°С, a, 1/°С - температурный коэффициент. Постройте графики зависимости удельного сопротивления r и удельной проводимости s от термодинамической температуры.

8. Определить уровень Ферми W_F в собственном полупроводнике, если энергия DW₀ активации равен 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергии электронов принят низший уровень зоны проводимости.

9. С обственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление r = 0,40 Ом∙м. Определить концентрацию n носителей заряда, если подвижность и электронов и дырок соответственно равны 0,36 и 0,16 ∙с).

10. Удельная проводимость кремния с примесями равна 112 См/м. Определить подвижность дырок и их концентрацию , если постоянная Холла = 3,66∙ /Кл. Принять, что проводник обладает дырочной проводимостью.

11.В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон примесного атома по модели Бора, оценить его энергию Е связи и радиус r орбиты. Диэлектрическая проницаемость германия равна 16.

12.Полупроводник в виде тонкой пластины шириной l = 1cм и длиной L= 10 cм помещен в однородное магнитное поле с индуктивностью В = 0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины. К концам пластины (по направлению L) приложено постоянное напряжение U =300 В. Oпределить холловскую разность потенциалов на гранях пластины, если постоянная Холла = 0,1 / Кл, удельное сопротивление. = 0,5 Ом∙м.

13.Тонкая пластина из кремния шириной l = 2cм помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,5 Тл) При плотности тока j = 2 мкА/ , направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов оказалась равной 2,8 В. Определить концентрацию п носителей заряда.

14.Определить уровень Ферми W_F в собственном полупроводнике, если энергия DW₀ активации равен 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергии электронов принят низший уровень зоны проводимости.

15. С обственный полупроводник (германий) имеет при некоторой температуре удельное сопротивление = 0,40 Ом∙м. Определить концентрацию n носителей заряда, если подвижность и электронов и дырок соответственно равны 0,36 и 0,16 м²/(В×с).

16.Удельная проводимость s кремния с примесями равна 112 См/м. Определить подвижность дырок и их концентрацию , если постоянная Холла = 3,66∙10^-4 м³/Кл. Принять, что проводник обладает дырочной проводимостью.

17.В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон примесного атома по модели Бора, оценить его энергию W связи и радиус r орбиты. Диэлектрическая проницаемость германия равна 16.

18.Полупроводник в виде тонкой пластины шириной l = 1cм и длиной L= 10 cм помещен в однородное магнитное поле с индуктивностью В = 0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен плоскости пластины. К концам пластины (по направлению L) приложено постоянное напряжение U =300 В. Oпределить холловскую разность потенциалов на гранях пластины, если постоянная Холла = 0,1 м³/ Кл, удельное сопротивление. = 0,5 Ом∙м.

19.Тонкая пластина из кремния шириной l = 2cм помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В = 0,5 Тл) При плотности тока j = 2 мкА/мм², направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов оказалась равной 2,8 В. Определить концентрацию п носителей заряда.

 

Ядерный магнитный резонанс

Основные формулы

· Магнитный момент ядра

m_я = gm_N (I (I +1),

где g – ядерный фактор Ланде; m_N = eћ/(2 m _p) - ядерный магнетон; m _p – масса протона; I – спиновое квантовое число ядра;

· Связь магнитного момента ядра с моментом импульса ядра

m_я = gL_я,

где g - гиромагнитное соотношение g = gm_N/ћ; L_я,= ћ(I (I +1)^1/2

 

Задачи

1. Определить гиромагнитное отношение для свободного электрона.

2. Свободный электрон находится в постоянном магнитном поле ( = 1 Тл). Определить частоту переменного магнитного поля, при котором происходит резонансное поглощение энергии электроном (g -фактор электрона равен 2).

3. Определить отношение резонансной частоты электронного парамагнитного резонанса к циклотронной частоте (g -фактор электрона равен 2,00232).

4. Стандартные спектрометры для наблюдения электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) имеют на одном из диапазонов фиксированную частоту n₀ =9,9 ГГц. Определить магнитную индукцию поля B ₀, при котором происходит резонансное поглощение энергии радиочастотного поля свободным электроном (g -фактор электрона равен 2).

5. Определить гиромагнитное отношение s для свободного протона.

6. Свободный протон находится в постоянном магнитном поле (B ₀= 1 Тл). Определить частоту переменного магнитного поля, при котором происходит резонансное поглощение энергии протоном (g -фактор электрона равен 5,58).

7. В опытах по изучению магнитным резонансным методом магнитных свойств атомов в основном состоянии обнаружено резонансное поглощение энергии при магнитной индукции B ₀ поля, равной 0,54 Тл, и частоте переменного магнитного поля, равной 1,4 МГц. Определить ядерный g -фактор.

8. Методом магнитного резонанса определяют магнитный момент нейтрона. Резонансное поглощение наблюдается при магнитной индукции поля, равной 6,682 Тл, и частоте переменного магнитного поля, равной 19,9 МГц. Вычислить ядерный g -фактор и магнитный момент нейтрона. Известно, что направления спинового механического и магнитного моментов противоположны. Спин нейтрона s =1/2.

9. Для молекулы НD, находящейся в основном состоянии, ядерный магнитный резонанс наблюдался: 1) для протонов (I =1/2.) в постоянном магнитном поле (B ₀ = 94мТл) при частоте переменного магнитного поля, раной 4MГц; 2) для дейтонов (I =1) соответственно при B ₀ =0,37Тл и =2,42 MГц. Определить по этим данным g -факторы и магнитные моменты и протона и дейтона (в единицах = е ħ/(2 m_p) - ядерный магнетон).

10. При какой частоте переменного магнитного поля будет наблюдаться ЯМР ядер (I =1/2; =2,63 ), если магнитная индукция постоянного магнитного поля равна 2,35 Тл?

11. Ядра Li (I =3/2 и g =2,18) находятся в однородном магнитном поле( = 2 Тл) Температура Т окружающей среды равна 80 К. Найти отношение заселенностей каждого из возможных энергетических уровней к заселенности уровня с наименьшей энергией.