Игры с частными случаями платежных матриц

Диагональная игра

Примером диагональной игры может служить игра в «прятки», состоящая в следующем. 2-й игрок прячется в одну из n ячеек, а 1-й игрок обследует одну из них. Если он выбрал ячейку i и 2-й игрок находится там, то 1-й игрок обнаруживает 2-го игрока с вероятностью в противном случае вероятность обнаружения равна нулю. Целью 1-го игрока является максимизация, а целью 2-го минимизация вероятности обнаружения. Эта игра описывается диагональной матрицей

.

Стратегии оптимальные игроков здесь совпадают; они состоят в выборе ячеек с вероятностями, равными

,

 

Симметричная игра

 

Определение. Квадратрная матрица называется кососимметрической, если для всех , . Матричная игра называется симметричной, если еематрица коссосиметрическая.

 

Теорема. Знгачение симметричной игры равно нулю. Кроме того, если есть оптимальная стратегия для первого игрока, то есть также оптимальная стратегия для второго игрока.

 

Доказательство. Пусть - матрица игры и -произвольная стратегия. Легко видеть, что . Следовательно,

.

Поэтому . Отсюда следует, что для любого

.

так что значение игры неположительно.

В тоже время

,

так что значение игры неотрицательно. Следовательно, значение игры равно нулю. Далее, если - оптимальная стретегия первого игрока, то

.

Но отсюда

,

так что

или

.

Значит, стратегия оптимальная также и для второго игрока.

Пример. («камень–ножницы–бумага»). Каждый игрок во время своего хода независимо от другого выбирает одну из трех стратегий, называемых «камень», «ножницы» и «бумага». Выбранные стратегии сравниваются. Если они совпадают, выигрыш первого игрока составляет 0 (ничья), в противном случае побеждает игрок с более сильной стратегией. «Камень» считается сильнее «ножниц», которые, в свою очередь, сильнее «бумаги», которая сильнее «камня». Выигрыш победившего игрока составляет 1, проигравшего -1. Платежная матрица в этом случае имеет следующий вид:

.

Так как матрица кососимметрическая, значение игры должно быть равно нулю. Очевидно, эта игра не имеет седловой точки. Кроме того, оптимальная стратегия не может использовать только две чистые стратегии. Действительно, если, например, , и , то легко видеть, что такая смешанная стратегия для первого игрока дает отрицательный ожидаемый выигрыш против первой чистой стратегии второго игрока. Поэтому все компоненты оптимальной стратегии будут положительными. Эта стратегия оптимальна также и для второго игрока, и компоненты вектора должны удовлетворять системе линейных уравнений

.

Решение этих уравнений нетрудно найти. Для обоих игрокой это единственная оптимальная стратегия.

§ 4. Игры в условиях неопределенности и риска (игры с природой)

 

В данном параграфе рассмотрим игру, в которой два участника, одним из них (Р2) считается «природа», внешняя среда, ее поведение непредсказуемо. В таких играх сознательно действует только один из игроков (Р1). Природа сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Поэтому термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или с природными стихийными силами).

Игра с природой задается одним из следующих способов.

1. Задание матрицей игры.

 

Данный способ задания аналогичен матричной игре.

Пусть первый игрок имеет m возможных стратегий: . У природы имеется n возможных состояний: . Условия игры с природой задаются матрицей A выигрыша первого игрока:

, где – выигрыш первого игрока, который он получит, если выберет стратегию , а состоянием природы будет .

2. Задание в виде матрицы рисков , или матрицы упущенных возможностей. Величина риска – это размер платы за отсутствие информации о состоянии природы. Матрица может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей .

Риском игрока при использовании им стратегии и состоянии природы называется разность между выигрышем, который игрок получил бы, если бы знал, что состоянием среды будет , и выигрышем, который он получит, не имея такой информации: , где .

Понятие доминирования в играх с природой имеет определенную специфику. Исключать из рассмотрения можно доминируемые стратегии только первого игрока.

Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности: известны или нет вероятности состояний (стратегий) природы, то есть имеет ли место ситуация риска (нет информации о вероятностях) или неопределенности (вероятности известны).