Теоретический анализ термодинамических процессов в идеальном газе

Целью расчета и исследования любого термодинамического процесса является определение термических параметров рабочего тела в начале и конце процесса, а также определение полученной (затраченной) работы и теплоты, подведенной (отведенной) в процессе.

Для этого необходимо знать:

– уравнение состояния рабочего тела (молекулярную массу используемого газа, находящегося в идеально-газовом состоянии);

– уравнение внутренней энергии (количество атомов, образующих молекулу газа);

– уравнение процесса в одной из термических систем координат (p,v; p,T или T,v);

– состояние рабочего тела в начале процесса (два независимых параметра, либо величины, из которых их можно определить);

– значение одного из изменяющихся параметров в конце процесса (либо величину, из которой его можно рассчитать).

Выбор тех или иных исходных данных обусловлен характером процесса либо решаемой задачи. Например, могут быть заданы параметры рабочего тела в одном из его состояний и значения теплоты либо работы процесса, а требуется определить параметры в другом состоянии.

Ниже приводятся примеры расчета и анализа термодинамических процессов, используемых в технике. Поскольку чаще всего используется совокупность термодинамических процессов, задачи составлены так, чтобы учащийся с самого начала осваивал методику построения и расчета такой совокупности процессов (цикла).

Для облегчения восприятия приводимых ниже расчетов и анализа термодинамических процессов в идеальном газе в табл.1 приведены соотношения между изменяющимися в них термическими параметрами состояния, а в табл. 2 – формулы для расчета теплоты и работы процессов.

 

Таблица 1

Аналитические соотношения между термическими параметрами состояния идеального газа в термодинамических процессах

Процесс	Уравнение процесса в координатах p,v	Соотношения между параметрами
изохорный		прямо пропорционально
изобарный		прямо пропорционально
изотермический		обратно пропорционально
адиабатный	, где k – показатель адиабаты, зависящий от количества атомов в молекуле газа	с ростом Т растет р, и уменьшается v.
политропный	, где n – показатель политропы (может принимать значение от -∞ до +∞)	с ростом Т увеличивается р, и уменьшается v.

Таблица 2

Соотношения для расчета теплоты и работы процессов

Процесс	Теплота	Деформационная работа
изохорный
изобарный
изотермический
адиабатный
политропный

На рис. 1.1 изображена совокупность политропных процессов расширения, исходящих из одной точки. Соотношения между изменением внутренней энергии, теплотой и работой политропных процессов расширения, протекающих в трёх зонах, отмеченных на рисунке, представлены в табл. 3.

Рис. 1.1. Сопоставление политропных процессов расширения

В координатах p,v и T,s

Таблица 3

Соотношения между изменениями внутренней энергии, теплоты

и работы в политропных процессах расширения

Номер зоны	Интервал изменения п	dT	du=сvdT	Δq=Tds	с= δq/dT	Соотношение между энергетическими эффектами
						Подводимая q идёт на выполнение l и увеличение u
						Работа l выполняется за счёт подводимой q и уменьшения u
						За счёт уменьшения u выполняетсяработа l и отводится q

Цикл с политропным расширением, изобарным сжатием и изохорным подводом теплоты

Выполним расчёт и анализ указанного цикла на примере решения следующей задачи.

Задача. 11м³ криптона политропно расширяется до 1/4 первоначального давления, затем изобарно сжимается до первоначального объема, наконец, изохорно возвращается в исходное состояние. Начальные параметры рабочего тела: давление р ₁= 0,2 МПа и температура t ₁= 350 °С. Показатель политропы расширения n = 2.

Определить параметры рабочего тела в характерных точках указанной совокупности процессов, суммарные значения теплоты и работы заданного количества криптона в цикле, а также изменения удельных:

- внутренней энергии в политропном процессе 1-2;

- энтропии в изобарном процессе 2-3;

- энтальпии в изохорном процессе 3-1 ( рис. 1.2 ).

Изобразить указанный цикл в термических и тепловой диаграммах.

Рис.1.2. Изображения заданной совокупности процессов на термических

и тепловой диаграммах:

1-2 – политропное расширение; 2-3 – изобарное сжатие;

3-1 – изохорный подвод теплоты

Решение

Криптон (Kr) – одноатомный газ, поэтому его показатель адиабаты k = 1,6667. По таблице Менделеева определяем молекулярную массу криптона: m_Kr = 83,8 кг/кмоль.

Удельная газовая постоянная криптона

.

Масса криптона, участвующего в заданной совокупности процессов (цикле), определяем из уравнения Клапейрона для М кг рабочего тела в идеально-газовом состоянии

 

.

 

Рассчитываем термические параметры рабочего тела в характерных точках цикла.

Точка 1

- абсолютная температура в Кельвина

 

Т ₁ = t ₁°С+273,15 = 350 +273,15 = 623,15К;

- удельный объем в начальной точке цикла определяем из уравнения Клапейрона для 1кг идеального газа рv = RT

.

 

Точка 2

Процесс 1-2 – политропный, поэтому в нём изменяются все три термических параметра состояния в соответствии с соотношением

 

.

 

Так как по условию задачи р ₁/ р ₂ = 4, то р ₂= р ₁/4 = 0,2/4 = 0,05 МПа, тогда

 

.

Температуру в точке 2 рассчитываем из приведенного выше соотношения

 

.

 

Для проверки рассчитываем значение Т ₂ из уравнения состояния

 

.

 

Точка 3

Процесс 2-3 – изобарный, поэтому р ₃= р ₂= 0,05 МПа.

Соотношение между параметрами в изобарном процессе

 

® тогда .

 

По условию задачи v₃ = v₁ = 0,3091 м³/кг.

 

Результаты расчетов записываем в таблицу:

 

Номера точек	р, Мпа	v, м^3/кг	Т, К
	0,2	0,3091	623,15
	0,05	0,6182	311,59
	0,05	0,3091	155,80

Рассчитываем количество удельной теплоты, подводимой (отводимой) в заданных процессах.

В политропном процессе 1-2

 

,

 

где c_v – изохорная теплоемкость. По упрощенной молекулярно-кинетической теории МКТ c_v =(3+ j)· R /2; здесь j – количество различимых вращательных степеней свободы атомов в молекуле. Криптон одноатомный газ, поэтому j = 0

 

.

 

Поскольку рассчитанное значение q _1-2 < 0, в процессе 1-2 теплота отводится от рабочего тела в окружающую среду.

В изобарном процессе 2-3

 

,

 

где с_p = (5+ j) R /2 = 2,5 R = 2,5·0,0992 = 0,2480 кДж/(кг·К) – изобарная теплоёмкость.

Так как q_2-3<0, то и в этом процессе теплота отводится.

 

В изохорном процессе 3-1

.

 

Следовательно, в этом процессе теплота подводится.

Суммарное количество теплоты, подводимой (отводимой) в цикле:

– удельное (для 1кг рабочего тела)

 

;

 

– общее (для Мкг рабочего тела)

 

.

 

Следовательно, теплоты подводится больше, чем отводится. Разность подводимой и отводимой теплоты (549,87 кДж) в рассматриваемом цикле превращается в работу.

Определяем значения удельных работ, получаемых (затрачиваемых) в процессах цикла:

— в политропном процессе расширения 1-2

 

,

 

— в изобарном процессе сжатия 2-3

 

.

— в изохорном процессе нагрева 3-1

.

 

Суммарное количество работы, полученной в цикле:

– удельное (работа 1 кг газа)

 

;

 

– общее (работа М кг газа)

 

.

 

Результаты расчетов значений теплоты и работы сводим в таблицу

Процессы	Теплота, q	Деформационная работа, l
1-2 – политропный процесс Расширения	–15,45	30,91
2-3 – изобарный процесс сжатия	–38,64	–15,46
3-1 – изохорный процесс подвода теплоты	69,55
Сумма	15,45	15,45

Изменение внутренней энергии в политропном процессе расширения 1-2

кДж/кг.

 

Проверка.

 

Из первого закона термодинамики следует

 

.

 

Из выполненных расчетов следует, что в политропном процессе расширения 1-2 работа совершается за счет внутренней энергии. Кроме того, часть внутренней энергии (15,45 кДж/кг) отводится в окружающую среду в виде теплоты.

 

 

Изменение энтропии в изобарном процессе 2-3

 

.

 

Поскольку Δ s ₂₃<0, теплота в этом процессе отводится, что подтверждается приведенными выше расчетами.

Изменение энтальпии в изохорном процессе 3-1

 

.

 

Проверка.

 

Из первого закона термодинамики следует

 

,

 

где техническая работа в изохорном процессе

 

.

 

В изохорном процессе подводимая теплота накапливается в видевнутренней энергии рабочего тела, что проявляется в повышении давления, так как dh = du + vdp.