Изучение колебаний связанных маятников

Лабораторная работа № 22

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Цель работы:

Исследование колебаний системы двух связанных маятников. Измерение собственных частот колебаний и частоты биений, экспериментальная проверка соотношения между этими частотами. Исследование зависимости частоты биений от параметров, определяющих связь маятников в системе.

Оборудование:

Два физических маятника, соединенные пружиной и оснащенные датчиками угла поворота, источник питания, электронный блок управления Cobra 3, компьютер.

 

Продолжительность работы – 4 часа.

 

Теоретическая часть

 

Биения

Гармоническими колебаниями называются колебания, которые описываются формулой

, (1)

где - координата колеблющейся точки, - амплитуда колебаний, - циклическая частота, - период колебаний, - начальная фаза. Гармонические колебания совершает, например, маятник при малых амплитудах. Формула (1) является решением дифференциального уравнения

, (2)

в чем нетрудно убедиться, вычислив вторую производную от функции и подставив ее в дифференциальное уравнение (2). Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями: координатой и скоростью материальной точки в начальный момент времени.

Некоторые физические задачи сводятся к сложению колебаний. Если суммируются колебания с одинаковыми частотами, то результирующие колебания происходят с той же частотой, а их амплитуда и начальная фаза могут быть найдены, например, с помощью метода векторных диаграмм.

При сложении колебаний с разными частотами возникает сложный, в общем случае, непериодический процесс. Если частоты и складываемых колебаний близки по величине (, где ), то результирующие колебания имеют характер биений – так называют колебания с пульсирующей амплитудой (рис.1).

В качестве примера найдем сумму двух колебаний с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и близкими частотами:

. (3)

Полученное выражение представим в виде

,

где и . Величину можно назвать медленно изменяющейся амплитудой. На рис. 1 приведен рассчитанный по формуле (3) график при , 10 с^-1, с^-1. Периодом биений называют минимальное время, за которое амплитуда колебаний периодически достигает своего минимального (или максимального) значения. Период изменения функции равен , а период биений, как видно из рис. 1, в два раза меньше: .

Рис. 1. График биений, рассчитанный по формуле (3) при , , (сплошная кривая). Штриховая кривая рассчитана по формуле

Определяя частоту биений формулой , получим

, (4)

где , .

Описание установки

Установка содержит два маятника, соединенные легкой пружиной (рис. 2б). На оси вращения каждого маятника закреплен датчик угла поворота, подключенный к блоку питания. Информационный сигнал с выхода датчика, пропорциональный углу отклонения маятника от положения равновесия, поступает на входы устройства преобразования «Cobra 3», и после преобразования в цифровую форму поступает в компьютер для обработки.

Датчик угла поворота выполнен на основе резистивного моста (рис.3). Ползунок реостата связан со стержнем маятника. При повороте стержня изменяется соотношение сопротивлений резисторов и, следовательно, напряжение , измеряемое вольтметром. Это напряжение пропорционально углу отклонения маятника. Ручная регулировка второго реостата (верхнего на рис.3) необходима для установки нулевого напряжения в положении равновесия маятника.

Рис. 3. Схема резистивного датчика угла поворота.

 

Каждый из маятников представляет собой стержень, к которому прикреплен груз в виде диска. Масса груза кг, его диаметр d = 80 мм. Расстояние от центра масс маятника до точки подвеса может изменяться в небольших пределах ( см) вращением узла крепления гири к стержню. При необходимости такой регулировки пригласите преподавателя или инженера.

 

Экспериментальная часть.

Подготовка к работе:

1. Установите заданное расстояние между точкой крепления пружины к маятнику и осью вращения в соответствии с индивидуальным заданием.

2. Включите блок питания, компьютер и запустите программу «measure».

Внимание! Перед включением приборов в сеть пригласите преподавателя или инженера для проверки схемы.

 

Подготовка к работе.

1. Физические понятия, знание которых необходимо для успешного выполнения работы:

ü гармонические колебания; амплитуда, фаза, начальная фаза, период, частота, циклическая частота, дифференциальное уравнение гармонических колебаний;

ü сложение гармонических колебаний, биения;

ü математический и физический маятники, собственная частота колебаний;

ü колебания связанной системы.

2. Приведите в конспекте подробный вывод формул (5) – (7)

3. Расчетное задание.

ü По формулам (7), (8) рассчитайте зависимости и в режиме биений. Величину , выберите в соответствии с индивидуальным заданием. При расчетах примите: m= 1кг, l= 1 м, k= 3 Н/м. Постройте графики и , используя любую доступную компьютерную программу построения графиков (например, http://www.yotx.ru/default.aspx). График вклейте в конспект.

 

Примечание. Пункты 2, 3 выполните письменно при подготовке к лабораторной работе.

 

 

Литература

1. Иродов И.Е. Механика. Основные законы.– М.: Лаборатория базовых знаний, 2003, §§5.4, 6.1, 6.2, 6.3, 6.4.

2. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика– М.: Астрель×АСТ, 2005; §§5.3, 5.4, 8.1, 8.5, 8.6, 8.7, 8.9, 8.11.

3. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.2,Москва.: Лань, 2004; Глава 24, 2.

 

Приложение-1

Вывод формул (5)-(9)

При малых углах отклонения маятников от вертикали (, , рис. 2б) ось пружины при колебаниях остается практически горизонтальной (рис.1-1.). В этом случае суммарный момент сил тяжести и упругости относительно оси вращения 1-го маятника равен

,

где - проекция силы на ось , - деформация пружины. Момент сил, действующих на второй маятник, относительно его оси вращения равен

,

где , . При малых углах отклонения маятников от вертикали , , поэтому

, .

Рис. 1-1. Связанные маятники

Полученные выражения для моментов сил подставим в уравнения динамики вращательного движения маятников:

, ,

где - момент инерции каждого маятника относительно оси вращения. После сокращения получим

, (П1)

где введены обозначения: , . Заметим, что величина равна собственной частоте уединенного (несвязанного) маятника, а величина зависит от параметров маятника и пружины, ее называют коэффициентом связи системы.

Складывая уравнения системы (П1), получим , где . Общее решение этого уравнения имеет вид

. (П2)

Вычитая из второго уравнения системы (П1) первое, получим , где , . Общее решение этого уравнения имеет вид

. (П3)

Из уравнений (П2), (П3) найдем

,

,

где , .

 

Приложение-2

Измерение собственных частот колебаний связанных маятников.

1. В меню «Прибор» компьютерной программы выберите «Универсальный измеритель».

2. В появившемся диалоговом окне наберите показанные на рис.2-1 установки.

3. Дважды отмечая мышкой окошки «Аналоговый дисплей» и «Диаграмма», активируйте на экране окна, изображенные на рис.2-2. Эти окна предназначены для установки максимального угла отклонения маятника от вертикали на аналоговом приборе и для выбора каналов, отображаемых на диаграмме.

Рис.2-1. Диалоговое окно «Универсальный измеритель»	Рис.2-2. Окна настройки пределов измерения угла
	Формула Лупа Обзор
Рис.2-3. Окно для отображения зависимостей в процессе измерения	Рис.2-4. Инструменты «Лупа» и «Обзор» для измерения периода колебаний

 

4. Конкретные значения параметров, устанавливаемых на рис.2-2, удобно выбрать, нажав кнопку «Далее» в окне на рис.2-1 и наблюдая отображение колебаний в появившемся на экране окне (рис.2-3). Предварительно нужно отклонить маятники на небольшие углы, отпустить их и нажать кнопку «Начать измерение» в правом нижнем углу окна на рис.2-3. Окончание процесса измерений выполняют нажатием клавиши «закончить измерение» в соответствующем окне на рис.2-3.

5. Когда маятники находятся в положении равновесия, приборы, изображенные на рис. 2-3, должны показывать нулевое напряжение - добейтесь этого с помощью ручек регулировки, расположенных на датчиках угла поворота.

6. Для измерения частот синфазных колебаний маятников отклоните их на одинаковые углы (контролируются приборами на рис. 2-3) в одну сторону от вертикали и одновременно отпустите. Измерения начинайте примерно через 30 с после начала колебаний, когда колебательный процесс установится. Запись колебаний должна происходить не менее двух-трех минут. После завершения измерений на экране отображаются графики колебаний. Выбирая входы 1 или 2, путем нажатия на кнопки U1 или U2, можно наблюдать на экране монитора графики колебаний каждого маятника в отдельности или сразу оба графика. Для одинаковых маятников и одинаковых начальных условий кривые и должны практически совпадать. Если это не так, обратитесь к инженеру или преподавателю.

7. Определите по графикам период синфазных колебаний , пользуясь для повышения точности инструментами «Обзор» и «Лупа» (рис.2-4). Оцените погрешность измерения . При необходимости проконсультируйтесь по этому вопросу с преподавателем или инженером.

8. Аналогичным образом определите период противофазных колебаний, отклоняя маятники на равные углы в противоположные стороны от положения равновесия.

9. Рассчитайте собственные частоты (частоты синфазных и противофазных колебаний) и их погрешности: , .

Приложение-3

Фурье-анализ биений

1. Выведите на экран график биений одного из маятников из упражнения 2.

2. Откройте окно «Изменение каналов», воспользовавшись инструментом «Формула» (На рис. 2-4 - ).

3. Заполните диалоговое окно так, как показано на рис.3-1.

4. Нажмите кнопку «Рассчитать», в результате на графике «биений» в 1000 раз уменьшится масштаб по оси времени (это необходимо, если учесть ожидаемые порядки собственных частот).

 

Рис.3-1. Окно для изменения масштаба по оси времени

5. Нажмите на панели инструментов кнопку f (Анализ Фурье).

6. В появившемся окне нажмите кнопку «Рассчитать».

7. Примените инструмент «Лупа» к графику на экране, «растянув» начальный участок этого графика. В результате получите зависимость как на рис.3-2.

 

Рис.9. Пример Фурье – анализа спектра биений связанных маятников

8. С помощью инструмента «Обзор» определите абциссы пиков этого графика и . Они должны совпадать с частотами синфазных и противофазных колебаний.

 

Лабораторная работа № 22

ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ МАЯТНИКОВ

Цель работы:

Исследование колебаний системы двух связанных маятников. Измерение собственных частот колебаний и частоты биений, экспериментальная проверка соотношения между этими частотами. Исследование зависимости частоты биений от параметров, определяющих связь маятников в системе.

Оборудование:

Два физических маятника, соединенные пружиной и оснащенные датчиками угла поворота, источник питания, электронный блок управления Cobra 3, компьютер.

 

Продолжительность работы – 4 часа.

 

Теоретическая часть

 

Биения

Гармоническими колебаниями называются колебания, которые описываются формулой

, (1)

где - координата колеблющейся точки, - амплитуда колебаний, - циклическая частота, - период колебаний, - начальная фаза. Гармонические колебания совершает, например, маятник при малых амплитудах. Формула (1) является решением дифференциального уравнения

, (2)

в чем нетрудно убедиться, вычислив вторую производную от функции и подставив ее в дифференциальное уравнение (2). Амплитуда колебаний и начальная фаза определяются начальными условиями: координатой и скоростью материальной точки в начальный момент времени.

Некоторые физические задачи сводятся к сложению колебаний. Если суммируются колебания с одинаковыми частотами, то результирующие колебания происходят с той же частотой, а их амплитуда и начальная фаза могут быть найдены, например, с помощью метода векторных диаграмм.

При сложении колебаний с разными частотами возникает сложный, в общем случае, непериодический процесс. Если частоты и складываемых колебаний близки по величине (, где ), то результирующие колебания имеют характер биений – так называют колебания с пульсирующей амплитудой (рис.1).

В качестве примера найдем сумму двух колебаний с одинаковыми амплитудами, начальными фазами, равными нулю, и близкими частотами:

. (3)

Полученное выражение представим в виде

,

где и . Величину можно назвать медленно изменяющейся амплитудой. На рис. 1 приведен рассчитанный по формуле (3) график при , 10 с^-1, с^-1. Периодом биений называют минимальное время, за которое амплитуда колебаний периодически достигает своего минимального (или максимального) значения. Период изменения функции равен , а период биений, как видно из рис. 1, в два раза меньше: .

Рис. 1. График биений, рассчитанный по формуле (3) при , , (сплошная кривая). Штриховая кривая рассчитана по формуле

Определяя частоту биений формулой , получим

, (4)

где , .