Lab 3. Approximate solution of nonlinear equations. The method of chords, tangents (Newton).

I) Find approximate solutions of equation Lab 3. Approximate solution of nonlinear equations. by chords with precision .

We separate the roots of this equation graphically (you can program). To do this, we construct graphs of functions , and find the abscissa plots the points of intersection of these functions: , .

Consider as an example the first root. Clarify its method of chords. For this function to determine the sign and its second derivative on this section .

,

;

, ; as , то , .

Because the , then apply the formula ,

where the fixed point , as the starting point . We obtain the following table

-2	-0,362357754	0,5	-0,398816882
-2,101183118	-0,043988132	0,398816882	-0,386900836	0,011916	0,101183
-2,113099164	-0,004912162	0,386900836	-0,38557473	0,001326	0,011916
-2,11442527	-0,000543307	0,38557473	-0,385428113	0,000147	0,001326
-2,114571887	-0,000060028	0,385428113	-0,385411914	1,62E-05	0,000147
-2,114588086	-0,000006632	0,385411914	-0,385410125	1,79E-06	1,62E-05
	-2,5	-2	1,428246056

Where , , .

 

The scheme of the chord method.

We estimate the approximation error. As does not change its sign on this interval, the It reaches its maximum and minimum values at the endpoints , so for .

А) Then, using the estimate of the error

,

we get , .

Therefore, the approximate value of the root is equal to .

We write the approximate value of the root only true significant digits in the narrow sense.

We have , , . Rounded до . We get , , .

Let us find the number of correct digits for . We have , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

Б) Верна так же следующая формула оценки погрешности приближенного значения корня:

, .

Для нашего уравнения имеем , .

Тогда полагая , получим

.

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим до . Получим , , .

Найдем число верных знаков для . Имеем , , .

Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

II) Найти приближенные решения уравнения методом касательных (методом Ньютона) с точностью .

Отделим корни этого уравнения графически (можно и программно). Для этого построим графики функций , и найдем абсциссы точек пересечения графиков этих функций: , .

В качестве примера рассмотрим второй корень. Уточним его методом касательных. Для этого определим знаки функции и второй ее производной на этом отрезке : , ; , ; так как , то , .

Поскольку , то применяем формулу , .

 

0,5	1,229205172	4,099762141	0,29982354
0,200176466	0,096960102	3,433435582	0,028239965	0,299823534
0,171936501	0,000967890	3,364722863	0,000287658	0,028239965
0,171648863	0,000000101	3,364017852	0,000000030	0,000287658
0,171648813	0,000000000	3,364017778	0,000000000	0,000000030

 

	0,5	-0,54030231	1,229205172	2,65376579	2,02516174

 

Схема применения метода касательных.

Оценим погрешность приближения. Так как не меняет свой знак на данном отрезке, то достигает своего наибольшего и наименьшего значения на концах отрезка , поэтому для .

А) Тогда используя оценку погрешности

,

получим , .

Следовательно, приближенное значение корня равно

.

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , . Округлим до . Получим , с погрешностью округления , .

Найдем число верных знаков для .

Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

Б) Верна так же следующая формула оценки погрешности приближенного значения корня:

, .

Для нашего уравнения имеем , . Тогда полагая , получим

.

Следовательно, приближенное значение корня равно .

Запишем приближенное значение корня только верными значащими цифрами в узком смысле.

Имеем , , .

Округлим до . Получим , ,

Найдем число верных знаков для . Имеем , , . Так как , то получим приближенное значение корня с числом верных знаков .

Ответ: .

Вопросы самоконтроля.

1) Какой должна быть приближенное решение нелинейных уравнений?

2) Какие условия Метод хорд, касательных (Ньютона).

3) Какой должна быть величина шага при отделении корней?

4) Найти приближенные решения уравнения методом хорд с точностью .

Лабораторная работа № 4

Тема: Решение нелинейных уравнений. Метод итерации.

Задание: 1) Отделить корни уравнения графически и программно.

2) Уточнить один из корней уравнения методом итерации с точностью , указать число итераций.

3) Нарисовать схему применения метода итерации к данному корню уравнения.

Вопросы самоконтроля.

1) Как отделяются корни уравнения?

2) Какой должна быть величина шага при отделении корней?

3) Какие условия должны быть выполнены для применения метода итерации?

4) Какова идея метода итерации? Геометрическая иллюстрация.

5) Какое условие должно выполняться для сходимости итерационной последовательности?

6) Как находится равносильное уравнение, применяемое для итерационного процесса? Критерий выбора равносильного уравнения.

7) Как определяется погрешность метода итерации при заданной точности?

8) Какие положительные и отрицательные стороны метода итерации (сравнить с методом деления отрезка пополам)?

Вариант	Уравнение		Вариант	Уравнение