Оптимальное число линий в сот

1. Пусть задается уровень обслуживания - максимальное значение доли вызовов, которые могут получать отказ в данной СМО. Пусть , это значит, что не больше 10% вызовов могут получать отказ.

2. Пусть - средняя плата за обслуживание; - штраф за отказ в обслуживании; - оплата труда линии за единицу времени ее работы. Средняя прибыль . Определить число линий в данной системе, при котором является максимальным.

3.

4. Оптимальный размер максимального числа товаров в магазине при отсутствии задалживания спроса.

Допущения:

1) Поток покупателей является простейшим с параметром (человек в неделю). ,

2) В одни руки отпускается только одна единица товаров - вероятность того, что спрос будет предъявлен за единиц времени на единиц товара.

3) Как только происходит продажа единицы товара, сразу подается заявка на замену ее другой единицей [количество товара в магазине] + [количество заявок] . можно понимать либо как максимальный размер товара, либо как максимальное количество заявок.

4) Время выполнения заявки - непрерывная случайная величина, распределенная по показательному закону с параметром .

5) Если товар в магазине отсутствует, то покупатель получает отказ и уходит.

Пусть а – доход от продажи единицы товара за вычетом издержек выполнения заказа по доставке товара в магазин.

Пусть b – издержки хранения единицы товара в течение промежутка времени .

Средняя прибыль

Линия – ячейка. Линия занята – ячейка пуста, заявка . Линия свободна – ячейка заполнена . Всего n линий.

Что есть состояние СМО?

Обслуживание – выполнение заявки.

– на момент подано заявок.

- средняя прибыль за .

( – не учитывает )

;

(b учитывает )

(, где – себестоимость, ).

 

Формулы Эрланга для бесконечного пучка и практические приложения

Пучок бесконечен нет ни отказов, ни ожидания.

Входящий поток – простейший с параметром .

Время обслуживания распределено показательно с параметром .

Состояния СМО можно понимать как качество вызовов на обслуживании

 

Формулы Эрланга для бесконечного пучка.

0, 1, 2, … , …

Вероятности: , , , … , …

- показатель эффективности. для конечного пучка. , так как .

Для систем с отказом формулы Эрланга остаются верными и для распределения .

Приложения:

1. Доставка телеграмм. СМО – телеграф, пучок линий – совокупность почтальонов.

Допущения:

1) Пусть каждый почтальон одновременно доставляет только одну телеграмму.

2) Считаем, что телеграмма доставляется немедленно по ее получении телеграфом должно быть достаточно много почтальонов. Поток телеграмм можно считать простейшим с параметром за часов поступает ровно телеграмм с вероятностью ; .

– время доставки телеграммы и возвращения почтальона – случайная величина. Вид распределения не имеет значения.

Какова вероятность того, что в пути находится одновременно почтальонов?

2. Ремонт автомашин. СМО – совокупность ремонтных мастерских.

Вызов – автомашина, требующая ремонта. Обслуживание – ремонт. Пусть ремонт начинается немедленно по выходу машины из строя. Поток поломок – простейший с параметром .

; - среднее время ремонта автомашины.

Пусть авт./сут.; сут. .

а) Среднее число автомашин, находящееся в ремонте, равно .

б) Вероятность того, что все машины исправны, равна .

 

Упорядоченный пучок линий

Пример: упаковочный цех с упаковочными автоматами.

Входящий поток – простейший с параметром .

Время обслуживания – показательно распределено с параметром .

Рассмотрим частичный пучок длины (из первых «» линий). (пучок конечный).

– (если пучок бесконечен).

Пусть – вероятность отказа на пучке длины .

– событие, состоящее в том, что на -ой линии не осуществилось обслуживание.

– средняя доля времени, когда в системе вызовов ≡ средняя доля вызовов, получающих отказ в обслуживании.

–вероятность того, что вызов будет обслужен на какой-либо из первых линий.

1. Найдем закон распределения номера линии, на которой осуществляется обслуживание вызова:

Обслуживание на -ой линии 1, 2, …, , …

Найти -?

Пусть

1 2 …

 

1. Наиболее интенсивным будет поток на первую линию.

Пусть - интенсивность стационарного потока, пущенного на -ю линию.

- интенсивность входящего потока.

для

- среднее число вызовов в единицу времени.

	вероятности исходов	интенсивности
отказ на частичном пучке
обслуживание

1. Поток все полнее обслуживается с повышением номера линии (полнота обслуживания измеряется коэффициентом обслуживания , ).

а) - вероятность отказа на линии при условии того, что вызов поступил на эту линию.

через и .

через ; пусть

;

б)

Обслуживается

(среднее число обслуженных вызовов за единицу времени).

- вероятность того, что вызов будем обслужен на -ой линии при условии того, что вызов поступил на -ю линию.