Плоскость в пространстве. Виды уравнения плоскостей. Угол между плоскостями.

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно данному вектору.

Пусть плоскость задана точкой M₀(x₀;y₀;z₀) и вектором , перпендикулярной этой плоскости.

Возьмем произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор . При любом расположении точки М на плоскости Q , поэтому .

Общее уравнение плоскости.

· Если D=0, то данному уравнению удовлетворяет точка О (0;0;0)

· Если С=0 то вектор . Следовательно, плоскость параллельна оси oz, если В=0 – то oy, если А=0 – то ox.

· Если C=D=0, то плоскость проходит через О (0;0;0), параллельно оси oz. Аналогично при A=D=0 и B=D=0.

· Если А=В=0 то уравнение примет вид плоскость параллельна плоскости Oxy.

· Если A=B=D=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение плоскости Oxy.

Уравнение плоскости, проходящей через три точки

К (х₁;у₁) М (х₂;у₂) N (x₃;y₃)

Возьмем на плоскости точку P (x;y;z).

Составим векторы:

Эти векторы лежат в одной плоскости, следовательно они компланарны:

Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть плоскость отсекает на осях отрезки, т.е. проходит через точки:

; ;

Нормальное уравнение плоскости.

 

Угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости.

Прямая L:

Пусть φ – угол между плоскостью и прямой.

Тогда θ – угол между и .

Найдем , если

, т.к.

Расстояние от точки до плоскости.

Дано:

M₀ (x₀;y₀;z₀)

Расстояние d от точки М₀ до плоскости ∆ равно модулю проекции вектора (где М₁(x₁;y₁;z­₁) - произвольная точка плоскости) на направление нормального вектора

!!!Если плоскость задана уравнением:

то расстояние до плоскости находится по формуле:

 

Прямая на плоскости. Виды уравнений прямой на плоскости. Угол между двумя прямыми.

Уравнение с угловым коэффициентом.

k= tg α – угловой коэффициент.

Если b=0 то прямая проходит через начало координат. Уравнение примет вид

Если α=0, то k = tg α = 0. То прямая пройдет параллельно оси ох.

Если α=π/2, то уравнение теряет смысл. В этом случае уравнение примет вид и пройдет параллельно оси оу.

Общее уравнение прямой.

A, B, C – произвольные числа, причем А и В не равны нулю одновременно.

· Если В=0, то уравнение имеет вид или . Это уравнение прямой, параллельной оси оу. и проходящей через точку

· Если В≠0, то получаем уравнение с угловым коэффициентом .

· Если А=0, то уравнение имеет вид . Это уравнение прямой, параллельной оси ох.

· Если С=0, то уравнение проходит через т. О (0;0).

Уравнение прямой, проходящей через точку, в данном направлении.

т М (х₀;у₀).

Уравнение прямой записывается в виде .

Подставим в это уравнение точку М

Решим систему:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки.

К (х₁;у₁) М (х₂;у₂)

Уравнение прямой в отрезках.

К (а;0); М (0;b)

Подставим точки в уравнение прямой:

Уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярно данному вектору.

М₀ (х₀;у₀).

Возьмем произвольную точку М (х;у).

Т.к. , то

Нормальное уравнение прямой.

Уравнение прямой можно записать в виде:

Т.к. ; , то:

Угол между прямыми.

Дано: прямые L₁ и L₂ с угловыми коэффициентами

Требуется найти угол между прямыми:

 

Эллипс. Определение. Вывод канонического уравнения.

Эллипсом называется

геометрическое место всех

точек плоскости, сумма

расстояний от которых до

до фокусов есть величина

постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса.

Т.к. MF₁ + MF₂ = 2a

Т.к.

То получаем

Или

 

Гипербола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Гиперболой называется множество всех точек плоскости, модуль разности расстояний от каждой из которых до фокусов есть величина постоянная.

Пусть M(x;y) – произвольная точка гиперболы. Тогда согласно определению гиперболы |MF₁ – MF₂|=2a или MF₁ – MF₂=±2a,

 

 

Парабола. Определение. Вывод канонического уравнения.

Парабола – множество всех точек плоскости, каждая из которых одинаково удалена от фокуса, и директрисы. Расстояние между фокусом и директрисой называется параметром параболы и обозначается через р>0.

Пусть M(x;y) – произвольная

точка M с F. Проведем отрезок

MN перпендикулярно

директрисе. Согласно

определению MF=MN.

 

Поверхности вращения.

Поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее плоскости, называется поверхностью вращения. Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости Oyz. Уравнение этой кривой запишутся в виде:

Найдем уравнение поверхности, образованной вращением кривой L вокруг оси Oz.

Возьмем на поверхности точку

M (x;y;z). Проведем через точку

М плоскость, перпендикулярную

оси oz, и обозначим точки

пересечения ее с осью oz

и кривой L соответственно O₁ и N.

Обозначим координаты точки

N (0;y₁;z₁). Отрезки O₁M и O₁N

являются радиусами одной и той же окружности. Поэтому O₁M = O₁N. Но O₁M = (x²+y²)^0.5, O₁N=|y₁|.

Следовательно, |y₁|=(x²+y²)^0.5 или y₁=±(x²+y²)^0.5. Кроме того, очевидно, z₁=z.

Следовательно – искомое уравнение поверхности вращения, ему удовлетворяют координаты любой точка М этой поверхности и не удовлетворяет координаты точек, не лежащих на поверхности вращения.