Для специальности «Управление персоналом»

МАТЕМАТИКА

Для специальности «Управление персоналом»

Часть 1

Линейная алгебра и математический анализ

 

 

Учебно-методический комплекс

 

Авторы-составители

д.т.н., профессор А.Н. Данчул,

д.т.н., профессор В.М. Градов

к.ф.-м.н., доцент Т.М. Поленова

 

Москва – 2011.

Содержание

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ.. 3

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН.. 4

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ.. 5

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ.. 17

Таблица вариантов. 18

Контрольное задание №1. 19

Контрольное задание №2. 24

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ.. 28

ПРИЛОЖЕНИЕ. ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ.. 32

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

 

Программа части 1 Линейная алгебра и математический анализ учебной дисциплины «Математика» разработана в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта профессионального высшего образования для обучения студентов специальности «Управления персоналом».

Целью изучения дисциплины является подготовка студентов к творческому восприятию последующих общепрофессиональных и специальных дисциплин. Студенты должны научиться владеть современным математизированным профессиональным языком, принятым в мировом научном сообществе, знать основные возможности и ограничения применения математического аппарата в профессиональной деятельности, а также иметь базовые навыки использования математического инструментария.

Часть 1 Линейная алгебра и математический анализ дисциплины «Математика» направлена на достижение вышеуказанных целей в области линейной алгебры и математического анализа, создание фундамента для изучения последующих частей дисциплины (теория вероятностей и математическая статистика).

Часть 1 Линейная алгебра и математический анализ дисциплины «Математика» читается в I семестре, рассчитана на 136 часов занятий, из которых 34 часа – лекции, 34 часов – практические занятия и 68 часов – самостоятельные занятия. Она не требует предварительных знаний, выходящих за рамки программы полной средней школы.

По части 1 Линейная алгебра и математический анализ дисциплины «Математика» предусмотрены 2 контрольных задания. Формой итогового контроля работы студентов является экзамен. В экзаменационный билет входят два теоретических вопроса и одна задача из числа включенных в планы практических занятий или контрольные задания.

Требования к уровню освоения дисциплины включают знание определений рассматриваемых понятий, понимание формулировок и идей доказательств используемых теорем, знание доказательств основных теорем, излагаемых на лекциях, уверенное владение методами решения задач, содержащихся в планах практических занятий.

 

 

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

 

№	Тема занятий	Всего часов	В том числе:
Лекции	Практич. занятия	Самост. работа
1.	Матрицы и определители
2.	Системы линейных алгебраических уравнений		(есть 2)
3.	Линейные пространства и преобразования		(есть 2)
4.	Комплексные числа. Собственные значения и векторы.
5.	Элементы аналитической геометрии
6.	Функции одной переменной. Числовые последовательности. Пределы последователь­ностей и функций		(есть 4)
7.	Дифференциальное исчисление
	Неопределенный и определенный интегралы
	ИТОГО:

СОДЕРЖАНИЕ ТЕМ

 

Тема 1. Матрицы и определители

 

Понятие матрицы. Определение и виды прямоугольных матриц. Векторы. Операции над матрицами. Определитель квадратной матрицы. Минор. Алгебраическое дополнение. Разложение определителя по строке или столбцу. Свойства определителей. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Обратная матрица. Ранг матрицы.

 

Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений

 

Системы линейных алгебраических уравнений. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде. Формулы Крамера. Теорема Кронекера-Капелли о разрешимости системы. Решение системы линейных алгебраических уравнений, матричных уравнений и вычисление обратной матрицы методом Гаусса.. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений; свободные неизвестные, базисные решения.

 

Тема 3. Линейные пространства и преобразования

 

Векторы на плоскости и в трехмерном пространстве. Определение и примеры линейного пространства. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис. Координаты. Размерность. Преобразование координат при переходе к новому базису. Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Евклидовы пространства.

Линейные преобразования (операторы). Способы нахождения матрицы линейного преобразования.

 

Тема 4. Комплексные числа. Собственные значения и векторы

 

Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексных чисел. Операции над комплексными числами и их свойства. Возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Собственные значения и собственные векторы матриц, их нахождение. Свойства собственных векторов.

 

Тема 5. Элементы аналитической геометрии

 

Уравнения прямой на плоскости. Уравнения прямой и плоскости в трехмерном пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

.

Тема 6. Числовые последовательности. Функции одной переменной. Пределы последователь­ностей и функций

Понятие числовой последовательности. Предел последовательности. Основные свойства сходящихся последовательностей. Признаки существования предела последовательности.

Понятие действительной функции действительной переменной. Способы задания функции. График функции. Основные элементарные функции. Сложные и взаимно обратные функции. Неявные функции. Алгебраические и трансцендентные функции. Основные свойства функций.

Предел функции в бесконечности и в точке. Односторонние пределы. Признаки существования предела функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Два замечательных предела. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке и на от­резке.

Тема 7. Дифференциальное исчисление

Производная функции и дифференциал. Геометрический и физический смысл производной; геометрический смысл дифференциала. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа. Правило Лопиталя. Точки экстремума, выпуклость и точки перегиба функции. Асимптоты. Общая схема исследования функций. Уравнение касательной и нормали к графику функции.

 

Тема 8. Неопределенный и определенный интегралы

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегралы от основных элементарных функций. Основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей. Понятие и геометрическая интерпретация определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов
ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

 

Тема 1. Матрицы и определители

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Даны матрицы A и B.

а)

Указать, какие из нижеприведенных операций выполнимы, и выполнить их.

а) A + B; б ) A^T + B; в) A + B ^T; г) A^T + B ^T.

д) AB; е) A^TB; ж) AB ^T; з) BA^T.

На дом

а)

3. Решить задачи [Л1[1], с.60, 64]:

1.17, 1.20, 1.23; 1.40, 1.43

На дом

1.18, 1.21, 1.25; 1.42, 1.45

4. Найти определитель матрицы

на дом

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с.65, 68]:

1.51; 1.62 на дом 1.52; 1.65.

3. Найти матрицу, обратную матрице С, если она существует (см. п. 4 занятия 1).

на дом

4. Найти ранг матриц

5. Решить задачи [Л1, с.70-71]:

1.71; 1.73; 1.79 на дом 1.74; 1.75; 1.82.

 

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 108]:

2.14, 2.19, 2.22 на дом 2.15, 2.20, 2.23.

3. Решить системы уравнений методом Гаусса

а) ; б) .

на дом а) ; б)

4. Решить задачу 2.46 [Л1, с. 115]:

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 108, 115]:

2.261, 2.47; на дом 2.27¹, 2.48.

3. Найти базисные и общее решения системы уравнений из задач [Л1, с. 115-116].

2.52, 2.54; на дом 2.53; 2.55.

Занятие 3

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 117-119]:

2.67, 2.69; на дом 2.68; 2.70, 2.72.

Тема 3. Линейные пространства и преобразования

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Доказать, что множество двухмерных геометрических векторов с заданными на нем операциями сложения и умножения на число образует линейное пространство.

3. Решить задачи [Л1, с. 165-166]:

3.50, 3.53, 3.56, 3.58, 3.61 на дом 3.51, 3.54, 3.57, 3.59, 3.62.

4. Найти косинус угла между векторами x и y, принадлежащими трехмерному евклидову пространству с ортонормированным базисом.

а) , б) , .

5. Решить задачи [Л1, с. 158-159]:

3.20, 3.26 на дом 3.21, 3.27.

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 168-169]:

3.71, 3.78 на дом 3.72, 3.79.

в вектор

3. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый

вектор

 

 

на дом .

4. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор x двухмерного векторного пространства в вектор y по следующему алгоритму.

а) симметричное отображение относительно прямой x₁= x₂;

б) поворот на 45° по часовой стрелке;

в) симметричное отображение относительно прямой x₁= 0, а затем симметричное отображение относительно начала координат.

на дом

а) симметричное отображение относительно прямой x₁= -x₂.

б) поворот на угол α против часовой стрелки;

в) симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямой x₂= 0.

5. Решить задачи [Л1, с. 169]:

3.80 на дом 3.81.

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 805-806]:

15.7, 15.8в, 15.12; 15.22 на дом 15.8г, 15.23.

Даны комплексные числа . Представить в тригонометрической форме и экспоненциальной форме и изобразить на комплексной плоскости эти числа, а также

4. Решить задачи [Л1, с. 172-173]:

3.87, 3.91, 3.96, 3.98 на дом 3.88, 3.92, 3.97, 3.99.

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 172-173]:

3.87, 3.91, 3.96, 3.102 на дом 15.8г, 15.23.

 

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 217-218]:

4.21, 4.35, 4.37, 4.38, 4.47 на дом 4.28, 4.39, 4.41, 4.48.

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Решить задачи [Л1, с. 235]:

4.114а, 4.115, 4.117 на дом 4.114б, 4.116, 4.119.

 

 

Тема 6. Числовые последовательности. Функции одной переменной. Пределы последователь­ностей и функций

Занятие 1

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Определить области существования и области значений следующих функций:

а) ; б) ; в)

на дом а) ; б) ; в) .

2. Построить график функции

, [2].

3. Решить задачи [Л1, с.267]:

5.38(а, в); 5.39(а, г); 5.40(а); 5.41(а)

на дом 5.38(б, г), 5.39(б, д); 5.40(б, в), 5.41(б).

4. Найти:

а) , если ; б) , если ;

на дом , если .

5. Решить задачи [Л1, с.296, 297, 302]:

6.8(а, б); 6.9(а) на дом 6.15; 6.21.

Занятие 2

1. Повторение определений основных понятий темы.

2. Вычислить пределы

а) ; б) ; в) .

3. Решить задачи [Л1, с.298 – 304]:

6.10(а, г, д); 6.11(г, б) на дом 6.23; 6.39; 6.41; 6.47; 6.49; 6.63; 6.69.

4. Решить задачи [Л1, с.305 – 304]:

6.80(б, в); 6.88; 6.109; 6.110

на дом 6.83; 6.85; 6.86; 6.111; 6.120.

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Выполняются два контрольных задания по 6 задач в каждом. По выданному преподавателем номеру варианта задания с помощью таблицы вариантов, приведенной на следующей странице, определяются номера варианты входящих в задание задач. Образец оформления титульного листа задания приведен в Приложении.

Сроки сдачи заданий:

· задание 1 – 10 неделя (до 8 ноября);

· задание 2 – 16 неделя (до 20 декабря).

Сроки зачета заданий (с учетом исправления ошибок):

· задание 1 – 11 неделя (до 15 ноября);

· задание 2 – 17 неделя (до 27 декабря).

Таблица вариантов

Задача
№ варианта задания	Номера вариантов задач
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.

Контрольное задание №1

Задача 1. Даны матрицы A и B. Найти матрицу

Вариант 1 Вариант 2

 

Вариант 3 Вариант 4

 

Вариант 5 Вариант 6

 

Вариант 7 Вариант 8

 

Вариант 9 Вариант 10

 

Задача 2. Найти матрицу, обратную матрице

 

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6
Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10

Задача 4. Найти определитель произведения двух матриц и .

Вариант 1

Вариант 2

Вариант 3

Вариант 4

Вариант 5

Вариант 6

Вариант 7

Вариант 8

Вариант 9

Вариант 10

Задача 4. Найти ранг матрицы

 

Вариант 1	Вариант 2
Вариант 3	Вариант 4
Вариант 5	Вариант 6

 

Вариант 7	Вариант 8
Вариант 9	Вариант 10

 

Задача 5. Записать систему уравнений в матричном виде и решить ее как матричное уравнение.

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Вариант 10

 

Задача 6. Решить систему уравнений методом Гаусса

Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3

Вариант 4 Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8 Вариант 9

Вариант 10

 

 

Контрольное задание №2

 

Задача 1. Представить вектор x в виде линейной комбинации векторов a₁, a₂, a₃, если система векторов a₁, a₂, a₃ линейно независима. В случае линейной зависимости векторов a₁, a₂, a₃ заменить один из них на вектор x так, чтобы полученная система стала линейно независимой.

Вариант 1 Вариант 2

Вариант 3 Вариант 4

Вариант 5 Вариант 6

Вариант 7 Вариант 8

Вариант 9 Вариант 10

 

Задача 2. Найти матрицу линейного преобразования, переводящего каждый вектор x двухмерного линейного пространства в вектор y по следующему алгоритму:

Вариант 1.	Симметричное отображение относительно прямой x1 = 0,а затем поворот на 90° по часовой стрелке.
Вариант 2.	Симметричное отображение относительно прямой x2 = 0,а затем поворот на 90° против часовой стрелки.
Вариант 3.	Симметричное отображение относительно прямой x1 = 0,а затем симметричное отображение относительно прямой x2 = 0.
Вариант 4.	Симметричное отображение относительно прямой x2 = 0,а затем симметричное отображение относительно прямой x1 = 0.
Вариант 5.	Симметричное отображение относительно начала координат,а затем поворот на 90° против часовой стрелки.
Вариант 6.	Симметричное отображение относительно прямой x2 = 0,а затем симметричное отображение относительно начала координат.
Вариант 7.	Симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямой x1 = 0.
Вариант 8.	Симметричное отображение относительно начала координат, а затем симметричное отображение относительно прямой x2 = 0.
Вариант 9.	Поворот по часовой стрелке на 90°, а затем симметричное отображение относительно прямой x2 = 0.
Вариант 10.	Симметричное отображение относительно прямой x1 = 0,а затем поворот на 90° против часовой стрелки.

Задача 3. Даны вершины треугольника . Составить: а) уравнения медианы и высоты треугольника , проведенные из вершины ; б) уравнение биссектрисы внутреннего угла .

	A	B	C
Вариант 1	(3,1)	(-13,-11)	(-6,-3)
Вариант 2	(26,-5)	(2,2)	(-2,-1)
Вариант 3	(-2,3)	(-18,-9)	(-11,15)
Вариант 4	(6,8)	(-1,-2)	(1,-7)
Вариант 5	(5,4)	(3,-9)	(-12,8)
Вариант 6	(14,-2)	(11,8)	(15,-6)
Вариант 7	(-21,4)	(4,10)	(-6,7)
Вариант 8	(-3,-4)	(8,-7)	(16,12)
Вариант 9	(22,8)	(4,14)	(-5,9)
Вариант 10	(-8,-7)	(6,16)	(-4,-14)

 

Задача 4. Вычислить пределы функций

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

 

Задача 5. Исследовать функцию и построить график.

 

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

Задача 6. Найти неопределенный интеграл.

Вариант 1	Вариант 6
Вариант 2	Вариант 7
Вариант 3	Вариант 8
Вариант 4	Вариант 9
Вариант 5	Вариант 10

 

ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ

1. Матрицы и основные операции над ними.

2. Виды матриц. Геометрическая интерпретация векторов.

3. Умножение матриц.

4. Определители матриц второго и третьего порядка.

5. Обратная матрица и ее нахождение.

6. Свойства определителей.

7. Элементарные преобразования строк и столбцов матрицы. Их использование при нахождении определителей.

8. Ранг матрицы. Способы вычисления ранга матрицы.

9. Теорема Кронекера-Капелли совместимости системы линейных алгебраических уравнений.

10. Запись и решение системы линейных алгебраических уравнений в матричном виде.

11. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

12. Вычисление обратной матрицы методом Гаусса.

13. Общее решение системы линейных алгебраических уравнений; свободные неизвестные, базисные решения.

14. Линейное пространство.

15. Линейная зависимость и независимость векторов. Способы определения.

16. Базис линейного пространства. Размерность линейного пространства

17.. Преобразование координат при переходе к новому базису.

18. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами

19.. Ортонормированный базис. Евклидово пространство

20. Линейные преобразования. Свойства.

21. Нахождение матрицы линейного преобразования.

22..Определение, геометрическая интерпретация и формы записи комплексных чисел.

23. Операции над комплексными числами.

24. Собственные значения и собственные векторы матриц, свойства собственных векторов.

25. Уравнения прямой в двухмерном пространстве

26. Условия параллельности и перпендикулярности

27. Уравнения прямой в трехмерном пространстве

28. Уравнения плоскости в трехмерном пространстве

29. Понятие действительной функции действительной переменной. Способы задания функции. График функции.

30. Основные элементарные функции. Сложная и взаимно обратные функции.

31. Основные свойства функций.

32. Понятие числовой последовательности и основные свойства сходящихся последовательностей.

33. Предел числовой последовательности. Признаки существования предела последовательности. Два замечательных предела.

34. Предел функции в бесконечности и в точке.

35. Непрерывность функции действительной переменной в точке и на отрезке.

36. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

37. Производная функции и дифференциал.

38. Производные и дифференциалы высших порядков.

39. Геометрический и физический смысл производной; геометрический смысл дифференциала.

40. Правила дифференцирования сумм, произведения и частного функций. Производная сложной и обратной функций.

41. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.

42. Правило Лопиталя.

43. Точки экстремума. Необходимое и достаточное условие локального экстремума функции.

44. Выпуклость и точки перегиба функции. Необходимое и достаточное условие перегиба функции.

45. Нахождение асимптот функции.

46. Уравнения касательной и нормали к графику функции в заданной точке.

47. Первообразная функции и неопределенный интеграл.

48. Свойства неопределенного интеграла.

49. Интегрирование рациональных дробей.

50. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла.

51. Формула Ньютона-Лейбница.

52. Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Признаки сходимости несобственных интегралов.

53. Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости несобственных интегралов.

54. Геометрические приложения определенного интеграла..

ПРИЛОЖЕНИЕ.
ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ ТИТУЛЬНОГО ЛИСТА
КОНТРОЛЬНОГО ЗАДАНИЯ

 

Российская академия государственной службы при Президенте РФ

 

 

Задание N 1 по математике

 

Слушателя группы О-811

Иванова Петра Фомича

Вариант 15

N задачи
N варианта задачи
Отметка о решении

Г.

[1] Л1 – литература под номером 1 в списке литературы

1 Ответ в [Л1] – неверный.

[2] - множество действительных чисел.

МАТЕМАТИКА

для специальности «Управление персоналом»

Часть 1