Сравнение бесконечно больших величин.

Пусть функции А(х) и В(х) определены в некоторой окрестности V(x₀) точки х₀, за исключением, быть может самой точки х₀. Пусть (для определенности) функции А(х) и В(х) положительные бесконечно большие при х→х₀+0, т.е.

и

1. если , то функцию А(х) называется б.б. более низкого порядка по сравнению с В(х) при х→х₀+0.

2. если =с≠0, с≠¥, то функции А(х) и В(х) называются б.б. одного порядка при х→х₀+0.

3. если =¥, то функцию А(х) называют б.б. более высокого порядка по сравнению с В(х) при х→х₀+0.

4. если отношение не имеет придела при х→х₀+0, то говорят, что б.б. функции α(х) и β(х) не сравнимы при х→х₀+0.

5. если =с≠0, с≠¥, то А(х) называется б.б. n –го порядка по сравнению с В(х) при х→х₀+0. (n>0, не обязательно целое).

Из предыдущих пунктов следует, что

1) Если n=1, то функция А(х) б.б. одного порядка с В(х) при х→х₀+0.

2) Если n>1, то функция А(х) б.б. более высокого порядка по сравнению с В(х) при х→х₀+0

3) Если n<1, то функция А(х) б.б. более низкого порядка по сравнению с В(х) при х→х₀+0

Пределы монотонных функций.

Теорема 1. (б.д.?)Пусть функция f(x) монотонно возрастает (строго возрастает) на множестве Х. Пусть в любой левой полуокрестности точки х₀ (х₀-d;х₀) существуют точки множества Х, отличные от х₀. (Число х₀ может быть как конечным, так и равным +¥, в этом случае левая полуокрестность это хÎХ: x<x₀).

1) Если при этом функция f(x) ограничена сверху, т.е. существует число С такое, что f(x)£С хÎХ, то при х→х₀-0 функция f(x) имеет конечный предел.

2) Если f(x) сверху не ограничена, то .

Доказательство.

1) Т.к. функция f(x) ограничена сверху, тогда существует точная верхняя граница множества {f(x)}, xÎX. Пусть m= . Тогда хÎХ f(x)£m. (1)

Возьмем сколь угодно малое e>0 и рассмотрим число m-e.

Т.к. m-e<m, то по свойству супремума на множестве {f(x)}, xÎX, обязательно найдется элемент >m-e.

Т.к. функция f(x) монотонно возрастает на множестве Х, то хÎХ, удовлетворяющих условию х> будет f(x)³ и, следовательно, f(x)>m-e (2).

Т.о. хÎХ: х> будут выполняться оба неравенства (1) и (2), т.е.

m-e<f(x)£m, значит, m-e<f(x)£m+e Ûçf(x)-mç<e.

а) Положим d=а- или =а-d, где а – конечное число. В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству а-d<x<a, будет çf(x)-mç<e, а это означает m=

б) Положим D= , если а=+¥ (можно считать, что =D>0). В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству x>D, будет çf(x)-mç<e, а это означает m=

2) (б.д.?) Допустим, что функция f(x) не ограничена сверху, т.е. не ограничено сверху множество {f(x)}, xÎX. Это значит, что какое бы большое число М>0 ни взять на множестве {f(x)}, xÎX, обязательно найдется хотя бы один элемент такой, что будет >М.

Т.к. функция f(x) монотонно возрастает на множестве Х, то хÎХ, удовлетворяющих условию х> будет f(x)³ и, следовательно, f(x)>М.

а) Положим d=а- или =а-d, где а – конечное число. В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству а-d<x<a, будет f(x)>М, а это означает =+¥.

б) Положим D= , если а=+¥ (можно считать, что =D>0). В этом случае хÎХ, удовлетворяющих неравенству x>D, будет f(x)>М, а это означает =+¥. Ч.т.д.

Теорема 2. Пусть функция f(x) монотонно убывает (строго убывает) на множестве Х. Пусть в любой левой полуокрестности точки х₀ (х₀-d;х₀) существуют точки множества Х, отличные от х₀. (Число х₀ может быть как конечным, так и равным +¥, в этом случае левая полуокрестность это хÎХ: x<x₀).

1) Если при этом функция f(x) ограничена снизу, т.е. существует число М, такое, что f(x)³М хÎХ, то при х→х₀-0 функция f(x) имеет конечный предел.

2) Если f(x) снизу не ограничена, то .

Общий признак существования конечного предела. (Критерий Коши)

Теорема (Критерий Коши). Для того, чтобы существовал предел (конечный) функции f(x) при х→х₀ (х₀ может быть либо конечной точкой, либо ±¥), необходимо и достаточно, чтобы функция была определена в окрестности точки х₀ (за исключением, быть может, самой точки х₀), и для любого сколь угодно малого e>0 существовала такая окрестность V(x₀) точки х₀, что каковы бы ни были точки х₁,х₂ÎV(x₀), х₁,х₂≠х₀ выполняется неравенство |f(х₁)-f(х₂)|<e, т.е.

Þ|f(х₁)-f(х₂)|<e.

Замечание. В случае, когда х₀=+¥ под условием понимается, что найдется такое число D=D(e), что х₁>D, x₂>D.

В случае, когда х₀=-¥ под условием понимается, что найдется такое число D=D(e), что х₁<D, x₂<D.