Оцінка точності вирівняних елементів мережі

Середню квадратичну помилку ваги знайдемо за формулою

. (1.22)

У нашій мережі = 6,98 (див. табл. 9), число надмірних вимірів дорівнює числу всіх умовних рівнянь τ = 8. За цими даними отримаємо .

У таблиці 9 обчислені значення зворотної ваги вирівняних значень дирекційного кута і довжину сторони ДС. За цими даними знайдемо їх середні квадратичні погрішності

; (1.23)

. (1.24)

При складанні вагомої функції для довжини сторони DC коефіцієнти при поправках в кутах не були помножені на , тому цей множник врахований при обчисленні m_s.

Вирівнювання мережі трикутників тріангуляції параметричним способом

 

Розв’язання задачі вирівнювання ланцюга трикутників параметричнім способом виконаємо на нижчеподаному прикладі (рис. 2, табл. 12, табл. 13).

Рис. 2. Схема мережі

 

Розв’язання трикутників. Обчислення наближених координат і дирекційних кутів

 

Вихідні дані і результати вимірів, виконаних на пунктах мережі, приведено у табл. 12, табл. 13.

 

Таблиця 12

Значення виміряних кутів у трикутниках тріангуляції

№ трикут-ника	вершина	˚	׳	″
1	2	3	4	5
	A 1			52,4
В 1			21,3
С 1			41,6
	А 2			44,4
В 2			27,5
С 2			49,6
	А 3			12,4
В 3			28,5
С 3			17,3
	А 4			22,7
В 4			42,9
С 4			59,1

Перед тим як приступити до розв’язання трикутників та обчислення координат пунктів, визначимо довжини і дерекційні кути вихідних сторін із рішення обернених геодезичних задач за формулами

; (2.1)

 

; (2.2)

 

. (2.3)

 

При розв’язанні оберненої геодезичної задачі результати обчислень записуємо в таблицю 13.

 

Таблиця 13

Координати вихідних пунктів

Назва пунктів	Координати пунктів
X	Y
1	2	3
A	41555,25	-23179,08
B	28178,84	-18526,66
C	40201,16	8117,32
D	27500,60	12111,13

 

Приступаємо до розв’язання трикутників. Нев’язки W в кожному трикутнику розділимо порівну на всі три кути так, щоб сума кутів була рівна 180º. Результати розв’язання трикутників зведемо в таблицю 14.

Наближенні координати кожного визначуваного пункту
в табл. 15 вирішуємо за двома сторонами трикутника з точністю до сантиметра.

 

Таблиця 14

Попередні та кінцеві розв’язки трикутників

№ трикутника	Назва кута	Виміряні кути	V ', первинна поправка	Первинно вирівняні кути	Градуси та десятки долі	Кут в радіанах	sin кутів	Обчислення сторін
˚	׳	″	˚	׳	″
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	A 1			52,4	1,56667			54,0	73,8317	1,288606	0,960448	16091,2078
B 1			21,3	1,56667			22,9	57,7064	1,007166	0,845321	14162,3923
C 1			41,6	1,56667			43,2	48,4620	0,845821	0,748516	12540,5333
∑			115,3				120,0	180,0000
	-4,7
	A2			44,4	-0,50000			43,9	63,0289	1,100061	0,891235	16099,0359
B 2			27,5	-0,50000			27,0	62,9742	1,099107	0,890802	16091,2078
C 2			49,6	-0,50000			49,1	53,9970	0,942425	0,808986	14613,3087
∑			121,5				120,0	180,0000
	1,5
	A 3			12,4	0,60000			13,0	59,1703	1,032716	0,858694	17438,6482
B 3			28,5	0,60000			29,1	52,4414	0,915275	0,792730	16099,0359
C 3			17,3	0,60000			17,9	68,3883	1,193601	0,929701	18880,6856
∑			58,2				60,0	180,0000
	-1,8
	A 4			22,7	-1,56667			21,1	46,6392	0,814008	0,727045	13314,0282
B 4			42,9	-1,56667			41,3	72,2281	1,260619	0,952279	17438,6482
C 4			59,1	-1,56667			57,5	61,1326	1,066966	0,875740	16037,0127
∑			124,7				120,0	180,0000
	4,7

 

Таблиця 15

Обчислення наближених координат пунктів

Формули	i	A	B	B	F	F	E	E	C
k	F	F	E	E	C	C	D	D
1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi	41555,25	28178,84	28178,84	42213,70	42213,70	27589,13	27589,13	40201,90
∆ X = S *Cos a	658,45	14034,86	-589,71	-14624,57	-2011,80	12612,77	-88,01	-12700,79
Xk	42213,56	42213,56	27588,90	27588,90	40201,90	40201,90	27501,11	27501,11
Yi	-23179,08	-18526,66	-18526,66	-10655,84	-10655,84	-3925,26	-3925,26	8117,35
∆ Y = S *Sin a	12523,24	7870,82	14601,40	6730,59	18773,20	12042,61	16036,77	3994,16
Yk	-10655,68	-10655,68	-3925,40	-3925,40	8117,35	8117,35	12111,52	12111,52
S	12540,53	16091,21	14613,31	16099,04	18880,69	17438,65	16037,01	13314,03
Вих	2,806872	1,518267	0,511101	1,611162	2,710268	1,677552	0,762277	1,576285
bi	-1,288606	-1,007166	1,100061	1,099107	-1,032716	-0,915275	0,814008	1,260619
	1,518267	0,511101	1,611162	2,710268	1,677552	0,762277	1,576285	2,836904
Sin	0,998621	0,489138	0,999185	0,418074	0,994307	0,690570	0,999985	0,299997
Cos	0,052506	0,872207	-0,040355	-0,908413	-0,106553	0,723266	-0,005488	-0,953940

Середнє арифметичне з двох значень координат пункту записуємо в таблицю 16, в яку вносимо також координати вихідних пунктів. У таблиці 16. графи 4-7 заповнюємо після розв’язання нормальних рівнянь, тобто після обчислення поправок δ _х, δ _у до наближених координат x º, y º.

 

Таблиця 16

Координати вихідних і визначуваних пунктів

Пункт	X	Y	δ x	δ y	Xі	Yі
1	2	3	4	5	6	7
А					41555,25	-23179,08
В					28178,84	-18526,66
F	42213,56	-10655,68	0,0024	-0,0004	42213,57	-10655,68
E	27588,90	-3925,40	0,0022	0,0000	27588,90	-3925,40
С					40201,16	8117,32
D					27500,60	12111,13

 

Таблиця 16. є вихідною для обчислення коефіцієнтів та вільних членів рівнянь поправок. Використовуючи координати, наведені в таблиці 16, обчислюємо у таблиці 17 за формулою (2.1) дирекційні кути α всіх сторін мережі з якомога вищого точністю. Результати обчислень контролюємо за формулами (2.3).

Обернені геодезичні задачі необхідно розв’язувати за всіма сторонами мережі, так як дирекційні кути повинні точно відповідати координатам, записаним в таблиці 16. Якщо таке співвідношення виявиться порушене та вільні члени рівнянь поправок будуть обчислені неточно, а це недопустимо, знову виникне необхідність вирівнювати мережу, так як через похибку у вільних членах рівнянь поправок мета вирівнювання досягнута не буде.

 

Рівняння поправок напрямків

Для напрямку, який було виміряно з пункту і на певний пункт К, рівняння поправок записують так:

 

, (2.4)

де - поправка орієнтирного кута Z_{і º}^º на станції; поправки до наближених координат відповідно виражено в дециметрах

, (2.5)

де і поправки до координат цих пунктів, м; , – коефіцієнти рівнянь поправок, – вільний член рівнянь поправок.

В окремих випадках, коли один або два пункти на кінцях наглядового напрямку являються вихідними (поправки і до них дорівнюють нулю), рівняння поправок (2.4) приймають відповідний вигляд. Якщо направлення змінено з вихідного пункту і на визначальний К, то

, (2.6)

з пункту і, що визначається на вихідний К

,

з вихідного пункту і на вихідний пункт К

. (2.7)

Використовуючи формули (2.4) – (2.7), складають рівняння поправок для всіх виміряних напрямків.

Коефіцієнти , вираховують за формулами

; , (2.8)

 

де – дирекцій ний кут, – довжина сторони, км.

Оскільки ; , то в рівняннях поправок для прямого і оберненого напрямків знаки та величини цих коефіцієнтів при однойменних поправках і будуть попарно однакові, що використовується в якості контролю.

Вільний член зрівняння поправок вираховується як різниця

(2.9)

або

, (2.10)

де – дирекційний кут, розрахований з таблиці 17 за приблизними координатами; – приблизно орієнтовне направлення.

, (2.11)

де – значення виміряного напрямку, середнє зі значень
– орієнтирного кута на станції:

; (2.12)

, (2.13)

де n – число виміряних напрямків на пункті.

Таблиця 17

Виміряні напрямки

Назва пункту	Назва напрямку	Виміряні напрямки	Градуси	Радіани
1	2	3	4	5
A	AF
AB			52,4	73,83122	1,288598
B	BA
BF			41,6	48,46156	0,845814
BE				111,4906	1,945877
F	FC
FE			12,4	59,17011	1,032713
FB				113,1672	1,975141
FA			83,3	170,8731	2,982299
E	EB
EF			27,5	62,97431	1,099109
EC			44,8	131,3624	2,292707
ED			67,5	178,0021	3,106722
C	CD
CE			59,1	61,13308	1,066974
CF			87,6	113,5743	1,982246
D	DE
DC			42,9	72,22858	1,260627

Сума значень вільних членів а_ік на кожній станції дорівнює нулю, як сума відхилень від середнього, що використовується в якості контролю обчислень на станціях.

Сума поправок в напрямки на кожній станції також дорівнює нулю.

Коефіцієнти та вільні члени поправок напрямків обчислені в таблиці 18.

Потрібно уважно слідкувати за знаками коефіцієнтів а і в, які залежать від величини дирекційного кута.

Значення коефіцієнтів а і в тавільний член l рівнянь поправок виписують з таблиці 18; надаючи кожному рівнянню поправок вагу плюс 1 (P = +1).

Так як при вирівнюванні користуються редукційними рівняннями поправок, то на кожному пункті необхідно дописати сумарне рівняння з фіктивною вагою P = – (перше правило Шрейбера), де n – число напрямків на пункти.

Нагадаємо порядок складання нормальних рівнянь при параметричному способі вирівнювання. Якщо рівняння поправок записані в загальному вигляді

 

(і = 1,2,., n), (2.14)

 

то, відповідні їм нормальні рівняння приймуть вигляд

 

,

де через р = р _і позначена вага рівнянь поправок (2.4)

Для нашої мережі рівнянь поправок записані в таблиці 19, а відповідні їм коефіцієнти нормальних рівнянь обчислені в таблиці 20.

 

Таблиця 18