Сформулируйте теорему о замене переменной в неопределенном интеграле и Правило интегрирования по частям. Докажите любое из этих двух утверждений.

Замена переменной

Теорема: Пусть ф-я x = j(t) определена и диф-ема на промежутке Т и Х – мн-во ее зн-й, на кот определена ф-я f(x). Тогда если F(x) – первообразная f(x) на Х, то F(j(t)) - первооб для f(j(t)) j¢(t) на Т, т.е. на множестве Т выполняется ра-во

Док-во: По правилу диф-ия сложной ф-и производная левой части равенства равна:

Что совпадает с подынтегр ф-ей в правой части рав-ва, это и док-ет рав-во. Т-ма док-на.

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

Интегрирование по частям.

Пусть u(x) и v(x) – две дифференцируемые функции на промежутке Х. Тогда на Х выполняется формула интегрирования по частям:

Док-во Имеем фор-лу для диф-ла произведения ф-й uv: d(uv) = udv + vdu

Проинт-в обе части рав-ва, получаем: , а в соотв-и с прив-ми выше св-ми неопр-го интеграла: или ;

Получили фор-у инте-ия по частям, кот позв-ет нах-ть инт-лы мн-их элем ф-й.

Пример:

43. Дайте определение и приведите пример первообразной. Сформулируйте теорему о существовании первообразной для непрерывной функции.

1.Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на промежутке ХÌR, если для любого функция y=F(x) дифференцируема и выполняется равенство

Пример: Непрерывная ф-ция F(x)=sinx - первообразная функции y=cosx на x=(-¥;+¥), F’(x)=(sinx)'=cosx

2. Теорема. Если y=f(x) непрерывна на xÌR, то у нее на х существует первообразная F(x).

Если F(x) первообр ф-и f(x) на xÌR, то G(x)=F(x)+C(общий вид первообр на х ф-и f(x)

Пример: см. выше

44. Дайте определение определенного интеграла и приведите формулу Ньютона-Лейбница. Сформулируйте основные свойства определенно го интеграла, иллюстрируя их примерами.

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем отрезок на частей точками () такими, что . Длины полученных отрезков обозначим (), и пусть – наибольшая из этих длин. Выберем на каждом из отрезков разбиения произвольную точку и составим сумму

, которую назовем интегральной суммой для функции .

Рассмотрим интегральные суммы, соответствующие разбиениям отрезка при различных значениях . Если существует предел таких сумм при , то он называется определенным интегралом функции на отрезке и обозначается ,

2. Формула Ньютона – Лейбница: Пусть ф-ция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – первообразная для f(x). Тогда

Пример.

3. Основные св-ва определенного интеграла:

1.

Пример.

2. , где k – постоянная.Пример. =1

3. =0;

 

4. Пример.

 

5.если f(x)£g(x) на отрезке [a,b], то

6.если на отрезке [a,b] выполняется m£f(x)£M,то

m(b-a)£ (оценка интеграла)

пример.

M=3/5,m=1/2 на [0;2] c помощью производной

½(2-0)£ £3/5(2-0)

7.теорема о среднем

Для непрерывной на отрезке[a,b] функции y=f(x) найдется точка сÎ[a,b]

45. Напишите формулы вычисление площади криволинейной трапеции и объема тела вращения. Приведите в обоснование чертежи к каждой из формул и приведите примеры.

Вычисление площадей плоских фигур.

 

Изв-но, что опред-ый инт на отрезке предст-ет собой площадь криволин трапеции, огран-ой гр-ом ф-и f(x). Если гр расположен ниже оси Ох, т.е. f(x) < 0 (случай 2), то площадь имеет знак “-“, если гр расп выше оси Ох, т.е. f(x) > 0, то площадь имеет знак “+” (случай 1).

Для нахождения суммарной площади используется формула .В 3 случае имеем область, принадлежащую обеим криволинейным трапециям (как для верхней, так и для нижней функции). В данном случае площадь заштрихованной области – разница площадей трапеций верхнего и нижнего графиков функций.

Площадь фигуры, ограниченной некоторыми линиями может быть найдена с помощью определенных интегралов, если известны уравнения этих линий.

Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x², x = 2.

Искомая площадь (заштрихована на рисунке) может быть найдена по формуле:

(ед²)

Объем тел вращения. Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что ф-я f(x) непр-на на отре [a, b]. Если соотвую ей кривол трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так наз-ое тело вращения.

Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:

При вращении вокруг оси Оу рассуждения аналогичны, только Примечание: Рисунок тот же только вместо х написать у.

Пример: Вычислить объем тела вращения, образованного вращением вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной гиперболой , осью абсцисс и прямыми

46. Дайте определения несобственных интегралов с бесконечными пределами. Приведите примеры вычисления таких интегралов.

Пусть ф-я f(x) опр-на и непр-на на инт-ле [a, ¥). Тогда она непр-на на любом отрезке [a, b].

Оп-е: Если существует конечный предел , то этот предел называется несоб-м интегралом от ф-и f(x) на интервале [a, ¥). Обозначение:

Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл расходится.

Аналогичные рассуждения можно привести для несобственных интегралов вида:

Конечно, эти утверждения справедливы, если входящие в них интегралы существуют.

Пример. - не существует.

Несобственный интеграл расходится.

Пример. - интеграл сходится

47. Дайте определение двойного интеграла. Сформулируйте определение элементарной области вдоль координатной оси и правило вычисления двойного интеграла. Приведите пример вычисления двойного интеграла.

Рассмотрим на плоскости некоторую замкнутую кривую, уравнение которой

f(x, y) = 0. Сово-ть всех точек, лежащих внутри кривой и на самой кривой назовем замкнутой обл-ю D. Если выбрать точки обл-и без учета точек, лежащих на кривой, область будет называется незамкнутой область D.С геом точки зрения D - площадь фигуры, огран0ой контуром.

Разобьем область D на n частичных областей сеткой прямых, отстоящих друг от друга по оси х на расстояние Dх_i, а по оси у – на Dу_i. Вообще говоря, такой порядок разбиения наобязателен, возможно разбиение области на частичные участки произвольной формы и размера.Получаем, что площадь S делится на элементарные прямоугольники, площади которых равны S_i = Dx_i × Dy_i.

В каждой частичной области возьмем произвольную точку Р(х_i, y_i) и составим интегральную сумму

где f – ф-я непр-ая и однозначная для всех точек области D. Если беск увел-ть кол-во частичных обл-ей D_i, тогда, очевидно, площадь каж частичного участка S_i стремится к нулю.

Опр-е: Если при стремлении к нулю шага разбиения обл D интегральные суммы имеют кон предел, то этот пр наз-ся двойным инт-ом от ф-и f(x, y) по обл D.

С учетом того, что S_i = Dx_i × Dy_i получаем:

В прив-ой выше записи им-ся два знака S, т.к. сумм-ние производится по 2 перем х и у.

Т.к. деление области интегрирования произвольно, также произволен и выбор точек Р_i, то, считая все площади S_i одинаковыми, получаем формулу:

Теорема. Если ф-я f(x, y) непр-на в замкнутой обл D, огран-ой линиями х = a, x = b, (a < b), y = j(x), y = y(x), где j и y - непрерывные функции и j £ y, тогда

 

Пример. Вычислить интеграл , если область D ограничена линиями: y = 0, y = x², x = 2.

 

=

48. Сформулируйте определения числового ряда и его суммы. В чем состоит достаточный признак сходимости ряда. Гармонический ряд.

Числовой ряд. Пусть дана {u_n}- числ. послед.; Числовым рядом называется бесконечная сумма членов послед. u_n т.е. u₁+u₂+…+u_n+…

обозначение:

Ряд называется сходящимся, если сходится посл-ть его частных сумм к некот числу S. S-сумма ряда. Сумма сход ряда – предел посл-ти его частных сумм.

Критерий Коши (необ-ые и дост усл-я сходимости ряда): Для того, чтобы посл-ть была сходящейся, необ-мо и дост-но, чтобы для любого сущ-вал такой номер N, что при n > N и любом p > 0, где р – целое число, вып-ось бы нерав-во: .

Для того, чтобы ряд был сход-ся необ-мо и дост-но, чтобы для любого существовал номер N такой, что при n>N и любом p>0 вып-ось бы нер-о

В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда:

. Ряд назван гармоническим так как каждый его член, начиная со второго, является гармоническим средним двух соседних. Согласно интегральному признаку, ряд расходится!

49. Сформулируйте определения и приведите признаки сходимости положительных и знакочередующихся рядов. Проиллюстрируйте это на примерах.

Положительный ряд можно записать в виде: где

Предельный признак Даламбера является сле-ем из приведенного выше признака Даламбера.

Если существует предел , то при r < 1 ряд сходится, а при r > 1 – расходится. Если r = 1, то на вопрос о сходимости ответить нельзя.

Пример. Определить сходимость ряда .

Вывод: ряд сходится.

Признак Коши. (радикальный признак) Если для ряда с неотриц-ми членами сущ-ет такое число q<1, что для всех достаточно больших n вып-ся нер-во ,

то ряд сходится, если же для всех достаточно больших n выполняется неравенство

то ряд расходится.

Следствие. Если сущ-ет предел , то при r<1 ряд сх-ся, а при r>1 ряд расходится.

Пример. Определить сходимость ряда .

Т.е. признак Коши не дает ответа на вопрос о сх-ти ряда. Проверим вып-е необ-ых условий сх-ти. Как было сказано выше, если ряд сходится, то общий член ряда стремится к нулю.

, т о, необ-ое усл-е сх-ти не выполняется, значит, ряд расходится.

Интегральный признак Коши. Если j (х) – непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1;¥), то ряд j (1) + j (2) + …+ j (n) + … = и несобственный интеграл одинаковы в смысле сходимости.

Пример. Ряд сх-ся при a>1 и расх-ся a£1 т.к. соответствующий несобс интеграл сх-ся при a>1 и расх-ся a£1. Ряд наз-ся общегармоническим рядом.

Знакочередующийся ряд можно записать в виде:

где

Признак Лейбница. Если у знакочередующегося ряда абсолютные величины u_i убывают и общий член стремится к нулю , то ряд сходится.

Примером условно сходящегося знакочередующегося ряда может служить ряд: