Сформулируйте с обоснованием ответ на вопрос: В чем состоит связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции?

Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций:

а) Если функция непрерывна, то она дифференцируема?

б) Если функция дифференцируема, то она непрерывна?

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости ф-и следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необ-мо док-ть озвученый факт или привести пример, кот опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, что данная функция является непрерывной и что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существует. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

Данный предел равен 1, если ∆ х →0+ и равен (–1), если ∆ х →0–, получается что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.

23. Обоснуйте возможность использования дифференциала в приближенных вычислениях. Приведите пример.

Дифференциалом функции называется величина

dy= f ′ (х)dх

Рассмотрим подробнее формулу ∆y»dy или f ′ (х₀+∆х) – f(х)» f ′ (х) ∆х; т.е.

f ′ (х₀+∆х)» f ′ (х₀) ∆х + f ′(х₀) – расчётная формула Эйлера;

Найдём

Полагаем y = f(x) = ; х₀ = 1, ∆х = 0,01 и y¢ = f ′ (х) = , согласно расчётной формуле:

» + * 0,01» 0,01

2 способ Дифференциалом функции в точке х₀ называется линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

df(х₀)= f ′ (х₀) ∆х; ∆х=dх; df(х₀)= f ′ (х₀)dх

 

24. Сфор-те теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .

Теорема Коши:

Пусть ф-ции и непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) и , тогда существует точка такая, что .

Домножим левую часть уравнения на

Получили т-му Лагранжа. Теорема Лагранжа – это частный случай т. Коши, когда .

Теорема Лагранжа:

Пусть функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка такая, что .

Следствие 1: Если производная y¢=f¢(x) равна 0 на X, то для всех x Î Х выполняется f=const.

Следствие 2: Правило Лопиталя ₀:

Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции f (х) =1 - ⁴ на отрезке :

y=1-(x⁴)^1/5 ; f(-2) = 1-(-2⁴)^1/5 = f(2)

В итоге: f ’(c)=0

Найдём f ’(x)=(1-(x⁴)^1/5)’ = -4/5 *x^-1/5=-4 / 5*x^1/5 ¹ 0

Следовательно теорема Лагранжа не выполняется.

25. Сформ теоремы Лагранжа и Коши для дифференцируемых ф-й. Проверьте справедливость теоремы Лагранжа для функции на отрезке .

Теорема Коши:

Пусть ф-ции и непрерывны на отрезке [a;b], дифференцируемы на интервале (a;b) и , тогда существует точка такая, что .

Домножим левую часть уравнения на

Получили теорему Лагранжа. Теорема Лагранжа – это частный случай т. Коши, когда .

Теорема Лагранжа:

Пусть функция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b), то существует точка такая, что

Пример: y = f(x) =1/x на [-2; 2]

1. функция не является непрерывной на отрезке [-2; 2]

Следовательно теорема Лагранжа не выполняется.

26. Сформулируйте теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Покажите, что функция удовлетворяет условиям теоремы Ферма на и найдите соответствующее значение х = с на .

Теорема (Ферма). Пусть f(x) определена и дифференцируема на некотором интервале (a;b) и в точке c (a;b) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Тогда .

Теорема (Ролля). Если ф-я f(x) непр-на на отрезке [a, b], дифф-ема на интервале (а, b) и значения функции на концах отрезка равны f(a) = f(b), то на интервале (а, b) существует точка с, a < с < b, в которой производная функция f(x) равная нулю, т.е. f¢(с) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ролля состоит в том, что при выполнении условий теоремы на интервале (a, b) существует точка с такая, что в соответствующей точке кривой y = f(x) касательная параллельна оси Ох. Таких точек на интервале может быть и несколько, но теорема утверждает существование по крайней мере одной такой точки.

Парабола определена и дифференцируема на заданном участке, а также имеет максимум в своей вершине (y _max=4). , откуда, согласно теореме, х =1.

Сформулируйте теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .

Пример: непрерывна на заданном отрезке, дифференцируема на заданном интервале, а

Значит в заданном интервале существует по крайней мере одна точка с, в которой производная функции обращается в нуль: .

Причем . Все условия теоремы Ролля выполнены.

27. Сформ теоремы Ферма и Ролля для дифференцируемых функций. Проверьте справедливость теорема Ролля для функции на отрезке .

Пример: Функция на концах отрезка [0, 8] принимает равные значения . . При , не существует. Нарушено условие теоремы Ролля.