Спектральные характеристики некоторых функций

1.Единичная ступенчатая функция. Дельта – функция.

Функция 1(t) вида

называется единичной ступенчатой функцией. Из (1) следует, 1(t) при t=0 имеет разрыв неопределенности первого рода, причем значение функции в точке разрыва не определено. Однако 1(t) при t=0 приписывают вполне определённые значения. Наиболее часто встречаются функции следующего вида:

Выбор того или иного значения единичной функции t=0 связан особенностями решаемой задачи. Например, первое представление удобно в том случае, когда рассматривают функцию 1(t) как предел при λ→∞ последовательности непрерывных функций:

f(t,λ)=1/2+(1/π)arctg λt (3),

где λ – параметр и

 

 

Последовательность непрерывных функций

при λ→ ∞ также имеет своим пределом первое представление 1(t).

Если , то предел этой последовательности

К категории особых функций относится дельта – функция Дирака, называется также импульсной функцией, первого порядка. Дельта функция определяется равенством:

, причем

Условия (6) и(7) оказываются несовместимыми, если рассматривать их с позиций классического матанализа, и поэтому дельта – функция не является функцией в обычном смысле. Однако в классе обобщенных функций она занимает равноправное место.

Дельта–функция обычно рассматривается как предел последовательностей дельта - образных гладких (имеющих производные любого порядка) функций являющихся производными по t от (3). Например:

является дельта – образной последовательностью, т.к.

В самом деле, при t≠0

при t=0

, причем

При таком определении дельта – функция является четной. Дельта – функция может апроксимироваться и разрывными функциями. Например, последовательность функций

, характеризующих импульсы высотой 1/a и длительностью a, при a→0, сходятся к дельта функции, т.е.

 

Смещенная единичная ступенчатая функция и дельта–функции определяются равенствами:

Рассмотрим важное свойство дельта – функции. Пусть f(t) непрерывна и ограниченна в интервале [-∞;∞]. Тогда справедливо равенство:

Это соотношение определяет так называемое “фильтрующее” или “выхватывающее” свойство дельта – функции.

Определим теперь спектральные характеристики 1(t). Единичная ступенчатая функция не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, и поэтому преобразование Фурье для такой функции не существует. Однако, используя понятие дельта–функции, можно построить спектральную характеристику и для неё. Покажем, что её спектральная характеристика определяется равенством:

Подставляя F(jω) в формулу обратного преобразования Фурье и, учитывая фильтрующее свойство дельта–функции, получим

 

Учитывая Лемму Жордана и основанные на ней способы вычисления несобственных интегралов, найдём

Следовательно:

Таким образом, обратное преобразование Фурье функции F(jω) приводит к 1(t), и поэтому правая часть равенства (10) является её спектральной характеристикой.

Определим спектральную характеристику дельта–функции (6).

Применяя , получим учитывая фильтрующее свойство:

Спектральная характеристика смещенной дельта-функции будет

Из (11) и (12) следует, что модуль спектральной характеристики дельта-функции │F(jω) │ равен единице.

 

Отсюда следует, что амплитуды гармоник представления δ - функции в виде интеграла Фурье равны на всем диапазоне частот от -∞ до ∞.

Найдем спектральную характеристику суммы двух дельта-функций

 

2. Гармонические колебания.

Пусть задана косинусоидная функция

 

f(t) = А₁ Cos ω₁ t

c амплитудой А₁ и частотой ω₁. Амплитудный спектр этой функции состоит из двух отрезков высотой А₁ при частотах ω= ± ω₁; для других значений частоты ω значения амплитудного спектра равны нулю.

 

Косинусоида не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости на интервале (-∞;∞) поэтому преобразование Фурье непосредственно не может быть использовано для определения спектральной характеристики (13). Покажем, что

 

Для этого используем обратное преобразование Фурье

.

Подставляя в эту формулу выражение (14) получим

Здесь использовано фильтрующее свойство дельта-функции, причем точка ω=ω₁, расположена внутри интервала (0, ∞), а δ(ω+ω₁) = 0 при ω>0.

Следовательно, с учетом формулы Эйлера

т.е. даём косинусоиду, следовательно

Пусть теперь задана периодическая функция

Ее спектральная характеристика.

Если

,

её модуль