Основные законы распределения

Биномиальный закон. Случайная величина называется распределенной по биномиальному закону, если она принимает конечное множество значений 0, 1, 2, … , а вероятность того, что , выражается формулой:

,

где - вероятность наступления события А при одном испытании, .

Числовые характеристики биномиального закона распределения:

, .

Закон Пуассона. Дискретная случайная величина называется распределенной по закону Пуассона, если она принимает счетное множество значений 0, 1, 2, …, , …, а вероятность того, что , выражается формулой:

,

где – параметр закона Пуассона.

Числовые характеристики закона Пуассона:

, .

Определение. Интенсивностью потока называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени. Доказано, что если известна постоянная интенсивность потока , то вероятность появления событий за время длительностью определяется формулой:

.

Пример 14.21. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 5 минут поступит 3 вызова.

Решение. По условию задачи Тогда

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина называется равномерно распределенной в интервале , если ее плотность распределения в этом интервале постоянна, а вне его равна нулю:

 

 

Числовые характеристики равномерного закона распределения:

, .

График дифференциальной функции равномерного распределения приведен на рис. 14.4.

Нормальное распределение. Непрерывная случайная величина называется нормально распределенной, если ее плотность распределения равна

,

где - математическое ожидание,

- среднее квадратическое отклонение.

График дифференциальной функции нормального закона распределения (нормальная кривая или кривая Гаусса) имеет вид

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение в интервале , выражается формулой:

,

где .

Для нормального закона распределения верна следующая формула:

.

Показательное распределение. Показательным называется распределение, дифференциальная функция которого имеет вид

где – параметр показательного распределения.

График дифференциальной функции показательного распределения приведен на рис. 14.6.

Числовые характеристики показательного распределения:

, .

Интегральная функция для показательного распределения имеет вид .

Функция надежности

Показательное распределениешироко применяетсяв теории надежности.

Пусть – продолжительность безотказной работы прибора. Функция распределения случайной величины Т выражает вероятность отказа за время t:

.

Определение. Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью :

.

Для показательного закона распределения вероятность безотказной работы элемента за время вычисляется по формуле:

, где - интенсивность отказов.

Пример 14.22. Испытывают два независимо работающих элемента. Длительности безотказной работы элементов равны

.

Найти вероятность того, что за время длительностью 6 часов

1) оба элемента откажут,

2) оба элемента не откажут,

3) откажет хотя бы один элемент.

Решение. Рассмотрим случайные величины:

- время безотказной работы 1-го элемента.

- время безотказной работы 2-го элемента.

Находим вероятности отказов элементов:

Найдем вероятности следующих событий.

1. Событие А – оба элемента откажут имеет вероятность

2. Событие В – оба элемента не откажут имеет вероятность

3. Событие С – хотя бы один элемент откажет имеет вероятность

Пример 14.23. Станок – автомат изготовляет шарики для подшипника. Шарик считается годным, если отклонение его диаметра от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,9 мм. Считая, что случайная величина распределена нормально с нулевым математическим ожиданием и со средним квадратическим отклонением мм, найти, сколькопроцентов годныхшариков изготавливает станок-автомат.

Решение. Воспользуемся формулой

,

где – функция интегральной теоремы Лапласа.

По условию задачи , , поэтому

.

Таким образом, станок-автомат изготавливает 92,8% годных шариков.