Понятия высказывания, функции-высказывания, функции-указателя. Понятие квантора. Универсальный и экзистенциальный кванторы. Свободные и связанные переменные.

Высказывание - есть повествовательное предложение, истинное или ложное.

Функции высказывания - это предложения, содержащие переменные и превращающиеся в выражения при замене переменных постоянными.

Функция-указатель – это выражение, которое при замене переменных постоянными превращается в обозначение предмета (пример: х+2).

Квантор – это логическое выражение, с помощью которого функция-высказывания с переменными превращается в высказывание о множестве предметов, обозначающих этими переменными.

Универсальный квантор заменяется выражениями: для любого, для всех и т.д.

Экзистенциальный квантор заменяется выражениями: для некоторых, для некоторых, существует такое, что: _х,у х²+3у=z

z- Свободный квантор

x,y- связанные переменные.

Переменная, встречающаяся в функции высказывании, называется связанной, если она встречается в кванторе, который предписывается данной функции высказыванию. В противном случае переменная называется свободной.

 

Правила интерпретации формул логики предикатов. Понятие реализации языка.

Интерпретация индивид. Констант.

Функция 1 сопоставляет каждой индивидной константе К произвольный элемент множества U, т.е. I (К) э (наоборот) = U

Интерпретация пред.констант.

Кажд. n-местная предикатная константа Пᶯ функции I сопост. В качестве значений произв. Класс состоящий из n- объектов которые являются элементом множества U.

I(Пᶯ)≤U

Р- «быть человеком», класс людей.

Q-«быть студентом», класс студентов.

3.Интерпретирующие функциональные константы.

Fᶯn-местн. Функция J, аргумен. и значение котор. являются элементы множества J.

I(Fᶯ)=J:Uᶯ→U

ЕслиU=∆

f-«+», g(x)-«х2»

Возможные реализации языка называется любая пара J=‹U,I›, такая, что U- не пустое множество элементов I- интерприкац-я функция, удовлетворяет условиям:

(1) I(K)э(наоборот)U

(2) I(П) ≤ U

(3) I(Fᶯ)=J:Uᶯ→U

4. Интерпретация предметных перемен:

Каждой предм. перем. L функция Ucопоставляетпроизвод. элементы множестваU

Ч(L)э(наоборот) U

Е (в обратную сторону)x (Р(х)ᴝf(x,y))

A(перевёрнутая) х(Р(х)ᴝQ(х))

Р- класс кошек

Q- класс кошек, любящих рыбу.

A(перевёрнутая)х(P(x)ᴝf (Q(x), A(перевёрнутая) R(x)

R- класс собак

Виды формул логики предикатов. Основные тавтологии логики предикатов.

1) Если П – n-местная предикатная константа, t1, t2,…, tn – термы, то П(t1, t2,…, tn) – формулы.

2) Если А – формула, то А также формула.

3) Если А и В – формулы, то А∨В, А&В, А В – формулы.

4) Если А – формула, a - предметная константа, то VaA, ƎaA – также формулы.

5)Ничто иное не является формулой.

Тавтологии:

Законы де Моргана для кванторов

Выражение кванторов одного через другой

Пронесение кванторов через конъюнкцию и дизъюнкцию

 

15)Категорические атрибутивные высказывания: типы и структура, определения истинности.

Атрибутивное высказывание – высказывание о принадлежности и не принадлежности субъекта к предикату.

Типы:

1. Всякий S есть Р - общеутвердительные.

2. Всякий S не есть Р - общеотрицательные.

3. Некоторый S есть Р - частноутвердительные.

4. Некоторый S не есть Р - частноотрицателъные.

5. а есть Р - единичноутвердительные.

6. а не есть Р - единичноотрицателъные.

Структура:

1)субъект - термин, обозначающий те предметы, о которых в высказывании нечто утверждается или отрицается.

2)предикат - термин, обозначающий то, что утверждается или отрицается, об этих предметах.

3)Кванторные слова (всякий – универсальный квантор, некоторый – экзистанциональный).

4)предицирующие связки (утвердительная связка «есть», отрицательная связка «не есть»).

Истинность категорических атрибутивных высказываний можно определить в традиционной силлогистике через выполнимость для субъектов и предикатов отношений, задаваемых некоторыми модельными схемами.

 

Логический квадрат. Непосредственные умозаключения по логическому квадрату.

SaP контрарность SeP

Контрадикторность

Подчин. Подчин.

SiP субконтрарность SoP

К непосредственным умозаключениям по логическому квадрату относятся умозаключения, которые строятся на основе знания отношений между высказываниями вида: SaP, SeP, SiP, SoP.