Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Расчётно-графическая работа

 «Операторы дифференцирования»

 

Определение.

Производной функции  называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

 

Записывают:

 или .

Производная функции  есть некоторая функция , произведенная из данной функции.

 

Определение.

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

 

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции  в соответствующей точке, с положительным направлением оси Ох.

 

Производная сложной функции

Пусть  и , тогда  − сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

 

Теорема.

Если функции  имеет производную  в точке х, а функция  имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция  в точке х имеет производную , которая находится по формуле:

 или = .

 

Кратко это можно сформулировать так (правило цепочки): производная сложной функции равна произведению производных от функций ее составляющих.

 

Правила дифференцирования		Формулы дифференцирования
1.		1.	,
2.		2.
3.	,	3.
4.	, .	4.
5.	,	5.
6.	, если ,	6.
7.	, если ,	7.
		8.
		9.
		10.
		11.
		12.
		13.
		14.
		15.
		16.
		17.

 

Определение.

Дифференциалом функции  называется произведение производной этой функции на приращение независимой переменной х:

 или .

 

Для функции  имеем:

, т.е. .

Тогда

или .

Значит, дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал независимой переменной.

Из формулы  следует, что

или .

Следовательно, производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу ее аргумента.

 

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ

Теорема (достаточные условия).

Если функция  дифференцируема на интервале  и ее производная положительна:  (отрицательна: ) для всех , то эта функция возрастает (убывает) на интервале .

 

Определение.

Точка  называется точкой максимума (точкой минимума) функции , если в некоторой окрестности точки  выполняется неравенство

.

 

Значение функции в точке максимума (минимума) называют максимумом (минимумом) функции или экстремумом функции.

Из определения следует, что экстремум функции имеет локальный характер.

Рассмотрим условия существования экстремума функции.

 

Теорема (необходимое условие экстремума).

Если дифференцируемая функция  имеет экстремум в точке , то ее производная в этой точке равна нулю:

.

Теорема (первое достаточное условие экстремума).

Если непрерывная функция  дифференцируема в некоторой окрестности критической точки  и при переходе через нее (слева направо) производная  меняет знак с плюса на минус, то  есть точка максимума; с минуса на плюс, то  − точка минимума.

 

Укажем правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке :

1) найти критические точки функции на интервале ;

2) вычислить значения функции в критических точках;

3) вычислить значения функции на концах отрезка , т.е.  и ;

4) среди вычисленных значений функции выбрать наибольшее или наименьшее.

 

Теорема (второе достаточное условие экстремума)

Если в точке  первая производная функции  равна нулю: , а вторая производная в точке  существует и отлична от нуля: , то при  в точке  функция имеет максимум и минимум − при .

Определение.

График дифференцируемой функции  называется выпуклым (вогнутым) на интервале , если он расположен ниже (выше) любой касательной, проведенной к данному графику (рис.5.8).

Теорема.

Если функция  во всех точках интервала  имеет отрицательную вторую производную: , то график функции в этом интервале выпуклый. Если  − график вогнутый.

 

Определение.

Точка графика непрерывной функции , отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба (рис.5.9).

 

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба)

Если вторая производная  при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой  есть точка перегиба.

 

Определение. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если выполнено одно из условий:

     или  (рис.5.11)

 

Асимптоты графика функции

Вертикальные асимптоты

Определение.

Асимптотой кривой называется прямая, расстояние до которой от точки, лежащей на кривой, стремится к нулю при неограниченном удалении от начала координат этой точки по кривой (рис.5.10).

 

Асимптоты бывают вертикальные (параллельные оси Оу), горизонтальные (параллельные оси Ох) и наклонные.

 

Горизонтальные асимптоты

Определение.

Если при  () функция  имеет конечный предел, равный числу b:

,

то прямая  есть горизонтальная асимптота графика функции .

 

Наклонные асимптоты

Определение.

Прямая  называется наклонной асимптотой графика функции  при  (), если выполняется равенство

.

Наличие наклонной асимптоты устанавливают с помощью следующей теоремы.

 

Теорема.

Для того, чтобы график функции  имел при  () наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы

 и .

Если хотя бы один из этих пределов не существует или равен бесконечности, то кривая  наклонной асимптоты не имеет.