Таблицы истинности в логике высказываний

 

Использование правильных форм умозаключений дает возможность получения истинного знания из истинных посылок. Кроме этого, зная правильные формы умозаключений, мы можем оценивать рассуждения как истинные или ложные. Подобный результат может быть достигнут также с помощью табличного построения логики высказываний.

В параграфе о сложных суждениях четвертой главы были приведены таблицы истинности, являющиеся определением знаков конъюнкции, дизъюнкции, импликации, эквивалентности, которые показывают  зависимость истинности сложного суждения от истинности составляющих его простых суждений. Используя их, а также знание о том, что сложные формулы с несколькими логическими терминами состоят из элементарных формул с одним логическим термином[43], мы строим таблицы истинности для сложных формул.

Для того чтобы выяснить, является сложное суждение истинным или ложным, необходимо, во-первых, выделить в нем главный логический термин – тот, который строится в последнюю очередь. Как уже было сказано ранее, существуют более сильные и более слабые логические термины: сильнее всех является термин Ø, за ним идут &, Ú, É, º. В последнюю очередь строится более слабый термин.

Например, имеется формула рÙqÉØp. Для того, чтобы выделить в ней главный логический термин, нужно сначала восстановить в ней скобки, используя знание о сильных и слабых логических терминах

      ((рÙq)É((Øp))

Сложную формулу рÙq можно представить в виде А, а сложную формулу Øp можно представить в виде В, следовательно, формула ((рÙq)É((Øp))    имеет вид

АÉВ.

Главный логический термин в этой формуле – термин импликации.

Во-вторых, строится таблица истинности для сложной формулы. Истинностные значения формулы в целом в данном случае записываются под главным логическим термином этой формулы, чтобы установить их, вначале необходимо установить истинностные значения частей сложной формулы. В данном случае эти части – формулы Øp и рÙq. Их истинностные значения соответственно пишутся под логическими терминами Ø и Ù. Число строк в таблице истинности определяется по формуле 2ⁿ, где n – число различных пропозициональных переменных p,q,r …, которые входят в формулу, а число 2 указывает на число истинностных значений – это истина или ложь. После того, как установлены истинностные значения частей сложной формулы, устанавливается истинностное значение формулы в целом. Используя таблицы  истинности для дизъюнкции и отрицания, мы находим истинностные значения для формул Øp и рÙq, затем – истинностные значения для формулы импликации.

 

 

p	q	рÙq É Øp
и                    и                    л                    л	и                  л                  и                  л	и л л            л и      и            л и       л            л и и

  При зна­чении и пропозициональных переменных ри qформула рÙq   имеет значение и, при значении и переменной рформула Øpимеет значение л. Если антецедент импликации имеет значение и, а ее консеквент имеет значение л, то импликация также имеет значение л.

Формула рÙqÉØp является ложной.

 

Упражнение 1.

Восстановите скобки в следующих формулах:

1. pÙØqÉrÚs

2. pÙqÉr

3. ØqÉpÚØrÙq

4. pÉqºpÙØrÉpÚq

5. pÙqÉrºpÉqÉr

6. pÙØqÉrÚs

7. ØØpºpÉq

 

Упражнение 2

Найдите главную логическую константу в каждой из следующих формул

1. ØpÚqÉpÙØq

2. (pÚq)ÙrÉpÙr

3. Ø(ØpÚp)

4. pÙØqÉrºpÉ(ØqÉr)

5. ((pÉq)Éq)Éq

 

Упражнение 3.

Используя таблицы истинности, проверьте, являются ли правильными следующие рассуждения?

1. Число или делится на 15, или не делится на 5, или сумма его цифр не делится на 3. Значит, если число не делится на 15, то, если оно делится на 5, то сумма его цифр не делится на 3.

2. Если это преступление совершил Петров, то он знает, где находятся похищенные деньги. Петров не знает, где находятся похищенные деньги, но знает, где находятся по­хищенные вещи. Петрова видели на месте преступления примерно в то время, когда преступление былосовершено. Следовательно, Петров не совершал этого преступления.

3. Научные проблемы либо решаются, либо объявляются неразрешимыми в настоящий момент. Значит, если проблема не названа неразрешимой, то она решается.

4. Если человек имеет твердые убеждения, то, принимая решение, он преодолеет соблазны. Че­ловек принял решение, но не преодолел некоторых соблазнов. Следовательно, у него нет твердых убеждений.

5. Если человек говорит неправду, то он заблуждается или сознательно вводит в заблуждение других. Этот чело­век говорит неправду, но явно не заблуждается. Следова­тельно, он сознательно вводит в заблуждение других[44].

6. «Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убий­ство имело место после полуночи. Если убийство имело место после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжет. Следовательно, Смит был убийцей»[45].

7. Если философ - дуалист, то он не материалист. Если он не материалист, то он диалектик или метафизик. Он не метафизик. Следовательно, он диалектик или дуалист.

8. «Если капиталовложения останyтcя постоянными, то воз­pacтyт правительственные расходы или возникнет безработи­ца. Если правительственные расходы не возрастyт, то налоги будут снижены. Если налоги будут снижены и капиталовложе­ния останyтcя постоянными, то безработица не возрастет. Сле­довательно, правительственные расходы возрастут»[46]

9. Если человек удовлетворен работой и счастлив в семей­ной жизни, то у него нет причин жаловаться на судьбу. У этого человека есть причина жаловаться на судьбу. Значит, он либо удовлетворен работой, но не счастлив в семейной жизни, либо счастлив в семейной жизни, но не удовлетворен работой.