Динамические характеристики вращательного движения

Рис. 1.3.1.

Моментом силы  относительно точки О называется физическая величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы, на вектор силы :

.        (1.3.7)

Направление момента силы определяется правилом буравчика (рис. 1.3.1), величина момента силы

,    (1.3.8)

где  – угол между радиус-вектором  точки приложения силы и вектором силы . Момент силы относительно оси характеризует способность силы вращать тело вокруг этой оси. Составляющая силы, параллельная закреплённой оси, вращения тела вызвать не может, а напряжения, при этом возникающие в оси, нас не интересуют. Тогда достаточно рассмотреть силы, направления которых перпендикулярны оси вращения ОО ’ (рис. 1.3.1). Определим плечо силы  относительно оси ОО ’ как расстояние от оси вращения до линии действия силы, тогда

,    .                                           (1.3.9)

Поворот тела с закреплённой осью вращения может быть вызван только касательной составляющей силы , причём эта составляющая тем успешнее осуществит поворот, чем больше её плечо r:

,                                           (1.3.10)

так как . Пусть твёрдое тело разбито на отдельные элементарные массы Δ m. По второму закону Ньютона касательная составляющая равнодействующей сил, приложенных к этой точке, равна:

.                                         (1.3.11)

Учитывая (1.3.6) для касательного ускорения, получим из (1.3.10) и (1.3.11):

.                                        (1.3.12)

Скалярная величина

,                                            (1.3.13)

равная произведению массы материальной точки на квадрат её расстояния до оси, называется моментом инерции материальной точки относительно оси. Векторы  и  совпадают по направлению с осью вращения, связаны с направлением вращения по правилу правого винта, поэтому равенство (1.3.12) можно переписать в векторной форме:

.                                  (1.3.14)

Уравнение (1.3.14) является основным законом динамики вращательного движения для материальной точки. Соотношение, аналогичное (1.3.12), можно записать для каждой точки тела, и затем просуммировать по всем точкам, тогда (с учётом того, что угловое ускорение одинаково для всех точек и его можно вынести за знак суммы):

.                       (1.3.15)

В левой части равенства стоит сумма моментов всех сил (и внешних, и внутренних), приложенных к каждой точке тела. Но по третьему закону Ньютона силы, с которыми точки тела взаимодействуют друг с другом (внутренние силы), равны по величине и противоположны по направлению и лежат на одной прямой, поэтому их моменты компенсируют друг друга. Таким образом, в левой части (1.3.15) остается суммарный момент только внешних сил.

Сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний от оси вращения называется моментом инерции твёрдого тела относительно данной оси:

.                             (1.3.16)

Моментинерции  твёрдого тела является мерой инертных свойств твёрдого тела при вращательном движении и аналогичен массе тела во втором законе Ньютона. Он зависит не только от массы тела, но и от её распределения относительно оси (в направлении, перпендикулярном оси). В случае непрерывного распределения массы сумма в (1.3.16) сводится к интегралу по всему объёму (по массе) тела:

.                                (1.3.17)

Таким образом, угловое ускорение твёрдого тела прямо пропорционально суммарному моменту внешних сил, приложенных к телу, и обратно пропорционально моменту инерции тела относительно оси вращения:

.                                      (1.3.18)

Это – основной закон динамики твёрдого тела. Он аналогичен второму закону Ньютона при поступательном движении

                                            (5.19)

и позволяет определить угловое ускорение  твёрдого тела.

Подсчёт момента инерции тела относительно произвольной оси облегчается применением теоремы Штейнера (1.3.20): момент инерции тела     относительно любой оси равен сумме момента инерции  относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния   между осями.

.                                      (1.3.20)

Экспериментальная часть

Приборы и оборудование: лабораторная установка, секундомер, линейка.

Основным элементом маятника Обербека (рис. 1.3.2) является крестовина, способная свободно вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси 1. Крестовина состоит из четырех стержней 2 с грузами-насадками 3, расположенными симметрично относительно оси вращения. С крестовиной жестко скреплен шкив 4 радиусом R. На шкив намотана нить 5, перекинутая

Рис. 1.3.2

через легкий блок 6. К свободному концу нити привязан груз 7, массу которого m можно изменять в процессе опытов. Для измерения высоты h расположения груза над полом служит линейка 8, а для измерения времени его падения – секундомер 9.

Методика измерений

Если поднятый на высоту h груз отпустить, то он начнет падать с ускорением , которое определяется вторым законом Ньютона (1.3.21). На груз действуют две силы: сила тяжести  и сила натяжения нити , тогда:

.        (1.3.21)

В проекциях на направление движения груза:

,

.   (1.3.22)

Массами нити 5 и блока 6 пренебрегаем; тогда натяжение нити по всей длине одинаково, и нить действует на поверхность шкива касательной силой, равной по модулю силе . Она создаёт вращающий момент , по модулю равный произведению модуля силы на её плечо, равное радиусу шкива R:

.                                    (1.3.22)

С учетом (1.3.22) вращающий момент силы натяжения нити равен

.                                 (1.3.23)

Под действием момента крестовина начинает вращаться с угловым ускорением . При этом на оси вращения возникают, хотя и незначительные, силы трения. Эти силы создают тормозящий момент , направленный противоположно угловому ускорению. С учетом направления моментов сил натяжения и трения алгебраическая запись уравнения основного закона динамики вращательного движения (1.3.18) имеет вид

.                                 (1.3.24)

Здесь   – момент инерции крестовины маятника Обербека относительно оси вращения. Момент инерции зависит от распределения массы тела относительно оси. Для крестовины маятника величина  определяется в основном положением грузов-насадок 3 на стержнях 2. Если их положение в ходе опытов не изменяется, то и момент инерции остается постоянным. Момент сил трения также можно считать практически неизменным. Поэтому зависимость углового ускорения e от момента силы натяжения , согласно уравнению (1.3.24), имеет линейный характер. Определив опытным путем значения  при различных  и обработав соответствующим образом полученную экспериментальную зависимость , с помощью этого уравнения можно найти неизвестные величины  и .

Так как нить 5 практически нерастяжима, все её точки, включая точки на поверхности шкива, движутся с одинаковым ускорением, равным по модулю ускорению падающего груза . Груз падает с высоты h равноускоренно; при этом за время t он проходит путь

.

Измерив высоту h и время падения груза t, можем найти ускорение

.                                       (1.3.25)

Далее, из (1.3.23) можно рассчитать момент силы натяжения нити, если известны масса груза т и радиус шкива R:

.                           (1.3.26)

Угловое ускорение шкива и тангенциальное ускорение точек на поверхности шкива связаны соотношением (см. 1.3.6)):

.                                        (1.3.27)

Рассмотрим превращение энергии. Поднятый на высоту  груз обладает потенциальной энергией

.                                  (1.3.28)

Кинетическая энергия системы «груз + крестовина» при этом равна нулю. В момент падения груза на пол его потенциальная энергия обращается в ноль, но за счет неё груз приобретает кинетическую энергию

,                                    (1.3.29)

а крестовина – кинетическую энергию вращения

.                                    (1.3.30)

Здесь  – скорость груза в момент падения;  – угловая скорость вращения крестовины к этому моменту.

Изменение полной механической энергии равно работе сил трения :

                        (1.3.31)

Работа при вращательном движении равна произведению момента  силы на угол поворота :

.                               (1.3.32)

Знак «–» отражает тот факт, что работа сил трения и сопротивления всегда отрицательна. С учетом соотношений (1.3.28)÷(1.3.32) получим:

.                      (1.3.33)

Скорость груза в момент его падения на пол найдем исходя из закономерностей равноускоренного движения (при ):

.                                         (1.3.34)

Используя связь между линейной и угловой скоростями, получим

.                                         (1.3.35)

Так как линейное расстояние, пройденное точками на поверхности шкива, равно перемещению груза за тот же промежуток времени, угол j (в радианах) может быть рассчитан как

.                                         (1.3.36)

Порядок выполнения работы

1. Запишите радиус R в таблицу 1.3.1, выразив его в метрах (R =17 мм).

2. Занесите во второй столбец таблицы 1.3.1 значение массы груза т (в кг).

3. Вращая крестовину, намотайте нить на шкив так, чтобы нижняя поверхность груза 7 оказалась на заданной высоте h над полом, запишите значение высоты.

4. Отпустив крестовину, одновременно включите секундомер, а в момент касания грузом пола – выключите. Запишите время падения в третий столбец таблицы 1.3.1.

Таблица 1.3.1

h =………….. м R =………….. м			Обработка зависимости
			В программе Excel Уравнение зависимости			Построение графика на миллиметровой бумаге
			………… k =…………. кг ^–1 м ^–2 b =………… с ^– 2			=……….. c ^–2 =……… Н × м
№	т, кг	t, c	t среднее, c	а, м/с ^2	, Н × м	e, с ^– 2	I, кг ∙м ^2	, Н × м
1		t 1 = t 2 = t 3 =
2		t 1 = t 2 = t 3 =
3		t 1 = t 2 = t 3 =
4		t 1 = t 2 = t 3 =
5		t 1 = t 2 = t 3 =
6		t 1 = t 2 = t 3 =
Для опыта № 3

 

5. Повторите пункты 3 и 4 с тем же грузом ещё два раза. Рассчитайте и занесите в таблицу среднее из трех значений времени t.

6. Увеличивая массу груза согласно рекомендациям, выполните пункты 2-5 ещё пять раз.

7. Для каждого из шести проделанных опытов рассчитайте ускорение а по формуле (1.3.25), подставляя в неё среднее значение времени падения t. Величину а (с точностью не менее чем до трех значащих цифр) запишите в таблицу 1.3.1.

8. По формулам (1.3.26) и (1.3.27) вычислите значения момента силы натяжения нити  и углового ускорения . Результаты занесите в табл. 1.3.1.

9. Постройте график зависимости углового ускорения от момента силы натяжения , выбрав один из способов: используя программу Excel или на миллиметровой бумаге. Подробно о построении графиков смотрите в начале методических указаний, с. 11-16, а также ниже в примечании.

10. Найдите значения момента инерции крестовины  и момента сил трения  по графику (см. рис. 1.3.3 и (1.3.40)). Запишите эти значения в табл. 1.3.1.

11. Для одного из проделанных опытов рассчитайте по формулам (1.3.34)÷(1.3.36) скорость груза , угловую скорость вращения  и угол поворота   крестовины маятника Обербека в момент падения груза на пол.

12. Вычислите значения левой и правой частей уравнения закона сохранения (изменения) энергии (1.3.33). Сравнив эти значения между собой, сделайте выводы.

13. Запишите общий вывод по работе.

Расчеты:

Пример расчёта среднего арифметического времени

=

 

Пример расчёта ускорения

 

=

 

Пример расчёта момента силы натяжения нити

 

 =

 

Пример расчета углового ускорения

=

 

Обработка зависимости .

График зависимости  можно построить с помощью Excel или на миллиметровой бумаге (см. ниже).

1) В Excel строим график, используя линейный тренд и требование показать уравнение зависимости . Программа выдаёт уравнение в виде

,                                            (1.3.37)

где  и  – конкретные числа. Теоретическая зависимость углового ускорения маятника Обербека от момента силы натяжения нити имеет вид (1.3.24):

.                             (1.3.38)

Рис. 1.3.3

Сравнение (1.3.37) и (1.3.38) даёт: ; , или

; .                        (1.3.39)

2) Построение графика на миллиметровой бумаге. Нанесите на график экспериментально полученные точки. По точкам проведите сглаживающую прямую (рис. 1.3.3). Из уравнения (1.3.24) следует, что угловое ускорение  обращается в нуль при . Следовательно, момент сил трения  определяется (с учетом масштаба!) отрезком, отсекаемым проведенной прямой на оси абсцисс. Величина  в уравнении (1.3.37) представляет собой угловой коэффициент прямой, то есть тангенс угла её наклона к оси абсцисс. Выбрав на сглаживающей прямой две достаточно удаленные друг от друга точки, определите  и  (с учетом масштаба графика) и рассчитайте значение  как отношение

.                                        (1.3.40)

Примеры расчета:

· линейной скорости υ

 

 =

 

· угловой скорости вращения

 

 

=

 

· угла поворота  крестовины маятника Обербека в момент падения груза на пол

=