Простейшая задача вариационного исчисления

Пусть - пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке  функций с нормой

.

Раздел оптимизации, связанный с нахождением наибольших и наименьших значений функционалов, определенных на , называется вариационным исчислением. В отличие от рассмотренных ранее экстремальных задач, определенных в конечномерном пространстве , задача вариационного исчисления ставится в бесконечномерном пространстве функций.

Определение 1. Простейшей задачей классического вариационного исчисления называется следующая экстремальная задача в :

(1)

где F (t,x, ) - непрерывная функция трёх переменных, дифференцируемая по двум своим последним аргументам. Экстремум в задаче ищется среди   функций , удовлетворяющих

 

краевым условиям . Такие функции называются допустимыми.

Определение 2. Допустимая функция  называется слабым локальным минимумом (максимумом) задачи (1), если существует  такое, что для любой другой допустимой функции , для которой , выполняется неравенство .

Замечание 1. Иначе  говоря, простейшая задача вариационного исчисления состоит в отыскании слабого экстремума функционала вида (1) на множестве всех гладких кривых, соединяющих две заданные точки.

Наряду со слабым экстремумом в классическом вариационном исчислении традиционно рассматривается сильный экстремум. При этом расширяется класс функций, среди которых ищется решение задачи. Введем в рассмотрение пространство кусочно-непрерывных функций  с нормой  .

Определение 3. Функция , удовлетворяющая краевым условиям  , , называется сильным локальным минимумом (максимумом) задачи (1), если существует  такое, что для любой другой допустимой функции , для которой , выполняется неравенство .

Замечание 2. Помимо понятий сильного и слабого локального экстремума стандартным образом вводится понятие глобального экстремума задачи (1), то есть функции, доставляющей минимальное (или максимальное) значение функционалу  среди всех допустимых функций.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума).

Если функция   доставляет слабый локальный экстремум в задаче (1), то для этой функции  и   выполнено уравнение Эйлера:

                                                      (2)

 

Замечание 3. Если   доставляет сильный локальный экстремум в задаче (1), то из определения следует, что она доставляет и слабый. Поэтому необходимое условие слабого экстремума является также необходимым условием сильного экстремума.

Определение 4. Решения уравнения Эйлера, являющиеся допустимыми функциями, называются допустимыми экстремалями задачи (1).