Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики

Интерпретация результата, учет реальных ограничений. Корни уравнений. Равносильность уравнений.

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- правила решения простых, дробно-рациональных неравенств с одной переменной;

уметь:

-  решать неравенства методом интервалов.

 

Сведения из теории:

Пусть заданное неравенство имеет вид: . Для решения этого неравенства используется так называемый метод интервалов, который состоит в следующем.

1. На числовую ось наносят точки х ₁,, х _n разбивающие ее на промежутки, в которых выражение  определено и сохраняет знак («плюс» или «минус»). Такими точками могут быть корни уравнений  и . Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками – точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а светлыми кружками – не удовлетворяющие ему.

2. Определяют и отмечают на числовой оси знак выражения  для значений , принадлежащих каждому из полученных промежутков. Достаточно определить знак функции  в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки «плюс» и «минус» будут чередоваться.

Изменение знаков удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой (кривой знаков), проведенной через отмеченные точки и лежащей выше или ниже числовой оси в соответствии со знаком дроби  в рассматриваемом промежутке. Промежутки, которые содержат точки, удовлетворяющие данному неравенству, иногда покрывают штрихами. Заштрихованная область в совокупности с полученными точками будет являться ответом к неравенству:

Пример 1. Решите неравенство: .

Решение: упрощаем неравенство путем равносильных преобразований: при умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный: .

Приведем дроби к общему знаменателю:

,

,

.

Выражения, стоящие в числителе и знаменателе, можно разложить на множители, тогда неравенство примет вид: .

Далее находим корни уравнений  и .

Из первого получаем х ₁=4, х ₂=1. Из второго получаем х ₃=2, х ₄=3.

Наносим на числовую прямую получившиеся точки, причем точки х ₁, х ₂ обозначаем закрашенными кружочками (для них неравенство выполняется), а точки х ₃, х ₄ светлыми (при этих значениях, выражение, стоящее слева от знака неравенства, не имеет смысла).

Определяем теперь знаки выражения  на полученных промежутках (подставляем любое значение х из каждого полученного промежутка в данное выражение), изображаем кривую знаков, заштриховываем те промежутки, на которых исходное неравенство выполняется:

Итак, исходному неравенству удовлетворяют следующие значения: х Є(-∞; 1]U(2; 3)U[4; +∞).

Задача для самостоятельного решения №1. Решите неравенство: .

Пример 2. Решите неравенство: .

Решение: подкоренное выражение, как известно, не может принимать отрицательных значений, также не допускается нахождение в знаменателе дроби нуля. Следовательно, область допустимых значений данного неравенства определяется неравенством  и тем условием, что .

Решаем уравнения  и .

Из первого уравнения получаем, что х ₁=9.

Из второго уравнения получаем, что х ₂=2.

Наносим область допустимых значений неравенства и полученные точки на числовую прямую, причем эти точки будут светлыми, поскольку ни одно из значений не удовлетворяет неравенству. Сразу определяем знаки выражения  в каждом из полученных промежутков и рисуем кривую знаков:

Верхней стрелкой на рисунке обозначена область допустимых значений неравенства. Ответом к неравенству будет являться промежуток, соответствующий на рисунке заштрихованной области.

Ответ: х Є[0; 2)U(9; +∞).

Задача для самостоятельного решения №2. Решите неравенство: .

 

Пример 3. Решите неравенство: .

Решение: подкоренное выражение не может принимать отрицательных значений, а в знаменателе дроби не должно быть нуля. Следовательно, область допустимых значений неравенства определяется следующей системой:

.

Решаем уравнение .

Получаем, что х ₁=0 и . Наносим полученные точки на числовую прямую, не забывая о том, какие из них следует закрасить, а какие осветлить. Изображаем также на ней область допустимых значений и изображаем кривую знаков:

Пунктирные лини на рисунке ограничивают область допустимых значений неравенства. Заштрихованная область соответствует решению неравенства.

Ответ: .

Задача для самостоятельного решения №3. Решите неравенство: .

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение неравенства с одной переменной.

2. В чем суть метода интервалов?

Практическое занятие

Преобразование уравнений. Основные приемы решения уравнений. Решение систем уравнений. Использование свойств и графиков функций для решения уравнений и неравенств

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- способы решения неравенства с двумя переменными и их систем;

уметь:

-  изображать на координатной плоскости множества решений неравенства с двумя переменными и их систем.

 

Сведения из теории:

Решение неравенства с двумя переменными, а тем более системы неравенства с двумя переменными, представляется достаточно сложной задачей. Однако есть простой алгоритм, который помогает легко и без особых усилий решать на первый взгляд очень сложные задачи такого рода.

Пусть мы имеем неравенство с двумя переменными одного из следующих видов:

y > f (x); y ≥ f (x); y < f (x); y ≤ f (x).

Для изображения множества решений такого неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f (x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f (x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f (x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.

Пример 1. Какое множество точек задается неравенством x·y ≤4?

Решение: 1) строим график уравнения x·y =4. Для этого сначала преобразуем его. Очевидно, что x в данном случае не обращается в нуль, т. к. иначе мы бы имели 0· y =4, что неверно. Значит, можем разделить наше уравнение на x. Получим: y =4/ x. Графиком данной функции является гипербола. Она разбивает всю плоскость на две области: ту, что между двумя ветвями гиперболы и ту, что снаружи их.

2) выберем из первой области произвольную точку, пусть это будет точка (4; 2). Проверяем неравенство: 4·2≤4 – неверно.

Значит, точки данной области не удовлетворяют исходному неравенству. Тогда можем сделать вывод о том, что множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3) т. к. неравенство нестрогое, то граничные точки, то есть точки графика функции y =4/ x, рисуем сплошной линией.

Закрасим множество точек, которое задает исходное неравенство цветом.

Задача для самостоятельного решения №1. Какое множество точек задается неравенством x·y ≤-6?

Пример 2. Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой .

Решение: строим графики всех функций:

y = x ²+2 – парабола, y + x =1 – прямая, x ²+ y ²=9 – окружность.

Теперь разбираем каждое неравенство в отдельности:

1) y > x ²+2.

Берем точку (0; 5), которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: 5 > 0² + 2 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше данной параболы, удовлетворяют первому неравенству системы. Закрасим их желтым цветом.

2) y + x >1.

Берем точку (0; 3), которая лежит выше графика функции. Проверяем неравенство: 3 + 0 > 1 – верно.

Следовательно, все точки, лежащие выше прямой, удовлетворяют второму неравенству системы. Закрасим их зеленой штриховкой.

3) x ²+ y ²≤9.

Берем точку (0; -4), которая лежит вне окружности. Проверяем неравенство: 0² + (-4)² ≤ 9 – неверно.

Следовательно, все точки, лежащие вне окружности, не удовлетворяют третьему неравенству системы. Тогда можем сделать вывод о том, что все точки, лежащие внутри окружности, удовлетворяют третьему неравенству системы. Закрасим их фиолетовой штриховкой.

Не забываем о том, что если неравенство строгое, то соответствующую граничную линию следует рисовать пунктиром. Получаем следующую картинку:

Искомая область – это область, где все три раскрашенных области пересекаются друг с другом:

 

Задача для самостоятельного решения №2. Изобразить область, заданную на координатной плоскости системой: .

Контрольные вопросы:

1. Дайте определение неравенства с одной переменной.

2. В чем суть метода интервалов?

 

 

Список литературы

1. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017.

2. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

3. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Задачник: учеб. пособие для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

4. Башмаков М.И. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: Электронный учеб.- метод. комплекс для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017.

5. Алимов Ш. А. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия.

6. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. — М., 2014.

7. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10—11 классы. — М., 2014.

8. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

9. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

10. Башмаков М. И. Математика. Задачник: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

11. Башмаков М. И. Математика. Электронный учеб.-метод. комплекс для студ. Учреждений сред. проф. образования. — М., 2015.

12. Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 10 класс. — М., 2014.

13. Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 11 класс. — М., 2014.

14. Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа, геометрия. 10 класс. — М., 2013.

15. Башмаков М. И. Математика (базовый уровень). 11 класс. Сборник задач: учеб. пособие. — М., 2012.

16. Гусев В. А., Григорьев С. Г., Иволгина С. В. Математика для профессий и специальностей социально-экономического профиля: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. — М., 2014.

17. Гусев В.А., Григорьев С.Г., Иволгина С.В. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учебник для студентов профессиональных образовательных организаций, осваивающих профессии и специальности СПО. – М.,2017

18. Колягин Ю.М., Ткачева М. В, Федерова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 10 класc / под ред. А. Б. Жижченко. — М., 2014.

19. Колягин Ю.М., Ткачева М. В., Федерова Н. Е. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни). 11 класс / под ред. А. Б. Жижченко. — М., 2014.

Для преподавателей

1. Об образовании в Российской Федерации: федер. закон от 29.12. 2012 № 273-ФЗ (в ред. Федеральных законов от 07.05.2013 № 99-ФЗ, от 07.06.2013 № 120-ФЗ, от 02.07.2013 № 170-ФЗ, от 23.07.2013 № 203-ФЗ, от 25.11.2013 № 317-ФЗ, от 03.02.2014 № 11-ФЗ, от 03.02.2014 № 15-ФЗ, от 05.05.2014 № 84-ФЗ, от 27.05.2014 № 135-ФЗ, от 04.06.2014 № 148-ФЗ, с изм., внесенными Федеральным законом от 04.06.2014 № 145-ФЗ, в ред. От 03.07.2016, с изм. от 19.12.2016.) Приказ Министерства образования и науки РФ от 29.12.2014 № 1645 «О внесении изменений в Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 17.05.2012 № 413 «Об утверждении федерального государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования».

2. Письмо Департамента государственной политики в сфере подготовки рабочих кадров и ДПО Министерства образования и науки РФ от 17.03.2015 № 06-259 «Рекомендации по организации получения среднего общего образования в пределах освоения образовательных программ среднего профессионального образования на базе основного общего образования с учетом требований федеральных государственных образовательных стандартов и получаемой профессии или специальности среднего профессионального образования».

3. Башмаков М. И. Математика: кн. для преподавателя: метод. пособие. — М., 2013

4. Башмаков М. И., Цыганов Ш. И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ. — М., 2011.

5. Приказ Министерства образования и науки РФ от 31 декабря 2015 г. N 1578 "О внесении изменений в федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования, утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 17 мая 2012 г. N413"

6. Примерная основная образовательная программа среднего общего образования, одобренная решением федерального учебно-методического объединения по общему образованию (протокол от 28 июня 2016 г. № 2/16-з).

7. Башмаков М.И., Цыганов Ш.И. Методическое пособие для подготовки к ЕГЭ.–М., 2014

 

 

РЕЦЕНЗИЯ

на Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся I курса, составителей О.Г. Князевой и О.Н. Парфеновой.

Представленная на рецензию работа преподавателей математики содержит 159 страниц. Содержание работы включает введение, теоретическую часть, материалы практических работ и список литературы.

В теоретической части авторы изложили учебные и воспитательные цели практических занятий, требования к оформлению практических работ. Представлены общие сведения о видах практической работы, критерии оценки результатов практической работы, изложен перечень знаний и умений, предусмотренных ФГОС СПО для проверки уровня усвоения учебного материала, уровня сформированности общих и профессиональных компетенций по учебной дисциплине. Материалы практических работ подобраны с учетом Примерной программы общеобразовательной учебной дисциплины «Математика». Указана литература, к которой обучающиеся могут обратиться для получения информации.

Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся I курса составлены с целью формирования умений применять теоретические занятия на практических занятиях.

Предназначены для обучающихся технического и естественно-научного профиля обучающихся по профессиям и специальностям.

Принципиальных замечаний к методическим рекомендациям нет.

Считаю, что представленные на рецензирование методические рекомендации окажут помощь обучающимся и могут быть рекомендованы к применению.

 

 

Рецензент:                                                 Пономарева Л.Г. /Председатель ЦМК естественно научных дисциплин,

преподаватель высшей категории/

Протокол № ___ от «___» февраля 2018 г.

 

 

РЕЦЕНЗИЯ

на Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся I курса, составителей О.Г. Князевой и О.Н. Парфеновой.

Методические рекомендации включают в себя структуру практических работ, требования к оформлению, критерии оценивания, образец выполнения, возможности использования информационных технологий при выполнении заданий, а также содержание практикумов за первый курс обучения.

 Методические рекомендации по выполнению практических работ способствуют реализации следующих задач: обучение студентов практическим приёмам и методам использования теоретических правил и законов математики при выполнении упражнений и решении задач; систематизация и закрепление знаний по дисциплине; развитие мышления, речи, навыков общения с аудиторией; организация обратной связи преподавателя и обучающихся.

 Способствуют формированию у обучающихся общего естественнонаучного мировоззрения и развитие научного мышления, правильного понимания границ применимости различных математических понятий, законов, теорий. Умения оценивать степень достоверности результатов, полученных с помощью математических методов исследования, решения, усвоение основных математических законов, методов математического исследования. Овладение приемами и методами решения конкретных задач из различных областей математики, помогающих обучающимся в дальнейшем решать профессиональные задачи.

Данные методические рекомендации отвечают требованиям, и является актуальными. В них приведены основные задания на правила, теоремы, и упражнения по всем разделам общеобразовательной математики.

Рецензируемые Методические рекомендации по выполнению практических работ по математике для обучающихся I курса, являются завершенной методической работой, которая рекомендуется мной для опубликования и использования в качестве материала, необходимого для организации и проведения практических занятий.

 

Рецензент:

Кузьминых И.Г., руководитель ШМО естественно-математических наук Голышмановского района, учитель МАОУ «Голышмановская СОШ №4» Протокол № ___ от «___» февраля 2018 г.