Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение точек максимума (минимума) функции;

- зависимость поведения функции от знака первой производной;

уметь:

- применять первую производную для нахождения промежутков монотонности функции;

- находить наименьшее, наибольшее значение функции на отрезке.

 

Сведения из теории:

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке, необходимо:

1) найти критические точки, принадлежащие заданному промежутку, и вычислить значения функции в этих точках;

2) найти значения функции на концах промежутка;

3) сравнить полученные значения; тогда наименьшее и наибольшее из них являются соответственно наименьшим и наибольшим значениями функции в рассматриваемом промежутке.

 

Пример 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции  на промежутке [-2; 0].

Решение: вычислим критические точки функции, принадлежащие заданному промежутку, с помощью первой производной:

Т.к. -3 [-2; 0], х =-1 – критическая точка.

, .

Вычислим значения функции на концах промежутка:

, .

у (0)=0.

Сравним полученные значения: наименьшее значение функции равно  и достигается ею во внутренней точке промежутка, а наибольшее значение равно 0 и достигается на правом конце промежутка.

Задания для самостоятельного решения:

Найдите наименьшее и наибольшее значения функций в заданных промежутках:

1)  на промежутке [0; 6];

2)  на промежутке [-2; 2];

3)  на промежутке [1; 3];

4)  на промежутке [-1; 6];

5)  на промежутке [-4; 4];

6)  на промежутке [0; 3];

7)  на промежутке [-4; -1];

8)  на промежутке [-3; 1];

9)  на промежутке [-5; 0].

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте правила вычисления наименьшего и наибольшего значения функции на промежутке.

Практическое занятие

Производные обратной функции и композиции функции.

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- систему и определение производной, второй производной и производных высших порядков;

- табличные решения производных элементарных функций, в том числе обратных тригонометрических функций;

- правила вычисления производной сложной функции;

уметь:

- находить производную сложной функции;

- находить вторую производную и производную высших порядков.

 

Сведения из теории:

Производная сложной функции

Пусть функция , х (а; b), имеет производную в точке х₀ (а; b), а функция  имеет производную в точке . Тогда сложная функция  имеет производную в точке х₀, которая вычисляется по формуле:

.

Пример 1. Вычислите производную функции .

Решение: представим заданную функцию как композицию квадратичной функции и степенной

     ;

Производные высших порядков

Вторая производная это производная от первой производной, т.е. , и т.д.

Производные высших порядков обозначаются римскими цифрами.

Пример 2. Найти четвертую производную .

Решение: вычисляем последовательно производные:

 

Задания для самостоятельного решения:

Вычислите значение «сложной» производной в указанной точке:

1 вариант 1) 2) 3) 4) 5)	2 вариант 1) 2) 3) 4) 5)
3 вариант 1) 2) 3) 4) 5)	4 вариант 1) 2) 3) 4) 5)
5 вариант 1) 2) 3) 4) 5)	6 вариант 1) 2) 3) 4) ; 5)
7 вариант 1) 2) 3) 4) 5)	8 вариант 1) 2) 3) 4) 5)
9 вариант 1)                      2) 3)                       4) 5)

Контрольные вопросы:

1. Сформулируйте правила вычисления производных сложной функции.

2. Что называется второй производной данной функции?

 

Практическое занятие

Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение предела функции;

- свойства и правила вычисления пределов функции;

уметь:

- вычислять пределы функции в точке, на бесконечности.

 

Сведения из теории:

Предел функции

Число А называют пределом функции f (x) в точке а если при х → а, f (x) → А.

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Функция f (x) называется бесконечно малой при х → а, если

Функция f (x) называется бесконечно большой при х → а, если

 

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций

Если функции f (x) и g (x) бесконечно малые при х → а, то (f (x)+ g (x)) бесконечно малая при х → а.

Если функция f (x) бесконечно малая при х → а и g (x) – ограниченная, то  – бесконечно малая.

Если существует , а g (x) – бесконечно большая при х → а, то ; .

Если при х → а, f (x) – бесконечно малая, то  – бесконечно большая.

Если при х → а, f (x) – бесконечно большая, то  – бесконечно малая.

 

Теоремы о пределах

Если существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует предел суммы (разности) этих функций, который равен сумме (разности) пределов функций f (x) и g (x): .

Если существуют пределы функций f (x) и g (x), то существует предел произведения этих функций, который равен произведению пределов этих функций: .

Если существуют пределы функций f (x) и g (x) при х → а и предел g (x)≠0, то существует предел частного этих функций, который равен отношению их пределов: .

Следствие: постоянный множитель можно вынести за знак предела: .

Пример 1. Вычислить предел .

Решение: здесь применима теорема о пределе частного.Разложим на множители квадратный трехчлен, для этого достаточно найти корни х ₁ и х ₂ квадратного уравнения ах ²+ bх + с = а (х – х ₁)·(х – х ₂):

9 х ²+8 х –1=9·(х - )·(х +1).

Под знаком предела сократим одинаковые множители и перейдем к пределу:

 

Пример 2. Вычислить предел

Решение: обнаружив неопределенность , раскладываем многочлены в числителе и в знаменателе на множители:

.

Числитель дроби стремится к конечному пределу, равному 3, а знаменатель при х ®1 является бесконечно малой, тогда дробь при х ®1 является бесконечно большой.

Для раскрытия неопределенности  следует числитель и знаменатель разделить на одну и ту же старшую степень переменной.

Пример 3. Вычислить предел .

Решение: в заданном пределе  числитель и знаменатель не имеют конечных пределов, имеем неопределенность . Поделив одновременно числитель и знаменатель на х ³, получим

,

т. к. каждая из дробей  является бесконечно малой и стремится к нулю.

 

Задания для самостоятельного решения:

Вычислите пределы:

1 вариант	2 вариант	3 вариант
4 вариант	5 вариант	6 вариант
7 вариант	8 вариант	9 вариант 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Контрольные вопросы:

1. Что называется пределом функции в точке.

2. Сколько пределов может иметь функция в точке?

3. Сформулируйте теоремы о пределах.

 

Практическое занятие