Непрерывные и периодические функции. Свойства и графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Обратные функции и их графики

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение тригонометрических функций;

- свойства тригонометрических функций;

уметь:

- строить косинусоиду.

 

Сведения из теории:

Функции синус и косинус

Числовые функции, заданные формулами y = sin x и y = cos x, называют соответственно синусом и косинусом (и обозначают sin и cos). Область определения этих функций – множество всех действительных чисел. Областью значений функций синус и косинус является отрезок [-1; 1]. Т.е. D (sin)= D (cos)= R; E (sin)= E (cos)=[-1; 1].

Свойства функций синус и косинус:

Для любого х справедливы равенства:

1) sin (- x)=- sin x, cos (- x)= cos x;

2) sin (x +2π n)= sin x, cos (x +2π n)= cos x, где n – произвольное целое число.

Синусоида

Построим график функции синус на отрезке [0; 2π]. Для этого отметим на оси ординат точки (0; -1) и (0; 1), а на оси абсцисс точку с абсциссой 2π (длина отрезка [0; 2π] шесть клеток ~ 6,28). Далее пользуясь вычисленными значениями синуса построим график функции на отрезке [0; 2π]. Вне этого отрезка заметим, что sin (x +2π n)= sin x и с помощью параллельных переносов вдоль оси О х влево и вправо достроим график функции на отрезках [-4π; -2π], [-2π; 0], [2π; 4π]. График синуса называется синусоидой.

Для построения графика косинуса необходимо воспользоваться формулой cos x = sin (x +π/2). Это означает, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние π/2 влево вдоль оси О х. Поэтому график функции y = cos x также является синусоидой.

Сведем известные свойства функций в таблицу (всюду полагая, что n – произвольное целое число).

	Функция
	y = sin x	y = cos x
1.1 Область определения	R	R
1.2 Область значений	[-1; 1]	[-1; 1]
2.1 Четность (нечетность)	Нечетная	Четная
2.2 Наименьший положительный период	2π	2π
3.1 Координаты точек пересечения графика с осью Ох	(π n; 0)	(π/2+π n; 0)
3.2 Координаты точек пересечения графика с осью Оу	(0; 0)	(0; 1)
4.1 Промежутки, на которых функция принимает положительные значения	(2π n; π+2π n)	(-π/2+2π n; π/2+2π n)
4.2 Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения	(-π+2π n; 2π n)	(π/2+2π n; 3π/2+2π n)
5.1 Промежутки возрастания	[-π/2+2π n; π/2+2π n ]	[-π+2π n; 2π n ]
5.2 Промежутки убывания	[π/2+2π n; 3π/2+2π n ]	[2π n; π+2π n ]
6.1 Точки минимума	-π/2+2π n	π+2π n
6.2 Минимумы функции	-1	-1
6.3 Точки максимума	π/2+2π n	2π n
6.4 Максимумы функции	1	1

Задания для самостоятельного решения:

№1. Построить схематически косинусоиду на интервале [-3π; 3π] и выполнить следующие упражнения:

1) Проиллюстрировать по графику, что:

а) функция cos x не может принимать значений, превосходящих по абсолютной величине единицу, т. е. -1 < cos x < 1;

б) каждому действительному значению х соответствует только одно значение cos х (свойство однозначности косинуса);

в) при замене произвольного значения аргумента х противоположным ему значением – х значение функции не изменяется, т. е. cos(- х)=cos х (свойство четности косинуса). Как можно использовать свойство четности косинуса при построении его графика;

г) при изменении произвольного значения аргумента на число, кратное числу 2π, значение функции cos x не изменяется, т. е. cos(х +2π k)=cos x (свойство периодичности косинуса). Как можно использовать периодичность косинуса при построении его графика;

д) при изменении произвольного знамения аргумента на число π значение функции у заменяется противоположным ему значением - у, т. е. cos(x ±π)=-cos x;

е) уравнение cos х =0,5 имеет бесчисленное множество решений. Назвать несколько частных решений этого уравнения.

2) Указать интервалы, в которых функция у =cos х принимает:

а) положительные значения;

б) отрицательные значения.

Какие четверти единичной окружности соответствуют этим интервалам.

3) Выделить на оси абсцисс и на единичной окружности интервалы, в которых функция у =cos x:

а) возрастает;

б) убывает.

Проиллюстрировать на графике, что в любом интервале монотонности косинус последовательно принимает все свои возможные значения, каждому из которых соответствует только одно значение аргумента в рассматриваемом интервале.

№2. По графику функции у =cos x ответить на следующие вопросы:

1) Как изменяется cos x, если аргумент х:

а) увеличивается от -2π до π;

б) уменьшается от 2,5π до 1,5π?

2) Чему равен косинус числа: а) π; б) 2π; в) -0,5π; г) -2π?

3) Что меньше: a) cos 0,7 или cos 1; б) cos(π/2+1) или cos(π/2-1)?

4) При каких значениях х функция cos x равна: а) 0; б) 1; в) -1?

5) Проиллюстрировать на графике, что не существует значений аргумента х, при которых функция cos x была равна 2.

Контрольные вопросы:

1. Какие функции называют синусом и косинусом?

2. Что является графиком функций синус и косинус?

3. Перечислите свойства функций синус и косинус.

 

Практическое занятие

Обратные тригонометрические функции. Преобразования графика функции. Гармонические колебания. Прикладные задачи. Показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения и неравенства

 

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определение тригонометрических функций;

- свойства тригонометрических функций;

уметь:

- строить графики тригонометрических функций.

 

Сведения из теории:

Числовые функции, заданные формулами y = tg x и y = ctg x, называют соответственно тангенсом и котангенсом (и обозначают tg и ctg).

Областью определения функции тангенс является множество всех чисел х, для которых cos x ≠0, т.е. все числа х ≠π/2+π n, где n - произвольное целое число. Областью определения функции котангенс является множество всех чисел х, для которых sin x ≠0, т.е. все числа х ≠π n, где n - произвольное целое число.

Область значений тангенса (котангенса) – вся числовая прямая.

Свойства функций тангенс и котангенс:

Для любого х справедливы равенства:

1) tg (- x)=- tg x, ctg (- x)=- ctg x;

2) tg (x +π n)= tg x, ctg (x +π n)= ctg x, где n – произвольное целое число.

Построение графика тангенса на интервале (-π/2; π/2) аналогично построению синуса. Вследствие тождества tg (x +π n)= tg x график тангенса на всей области определения получается из графика на интервале (-π/2; π/2) параллельным переносом вдоль оси О х влево и вправо на π, 2π и т.д. График функции тангенс называют тангенсоидой.

Для построения графика y = ctg x воспользуемся тождеством ctg x =- tg (x +π/2). Из этого тождества следует, что для построения графика котангенса необходимо сдвинуть график тангенса на π/2 влево вдоль оси О х и отразить полученную кривую относительно оси О х.

Сведем известные свойства функций в таблицу (всюду полагая, что n – произвольное целое число).

	Функция
	y = tg x	y = ctg x
1.1 Область определения	(-π/2+π n; π/2+π n)	(π n; π+π n)
1.2 Область значений	R	R
2.1 Четность (нечетность)	Нечетная	Нечетная
2.2 Наименьший положительный период	π	π
3.1 Координаты точек пересечения графика с осью Ох	(π n; 0)	(π/2+π n; 0)
3.2 Координаты точек пересечения графика с осью Оу	(0; 0)	Нет
4.1 Промежутки, на которых функция принимает положительные значения	(π n; π/2+π n)	(π n; π/2+π n)
4.2 Промежутки, на которых функция принимает отрицательные значения	(-π/2+π n; π n)	(-π/2+π n; π n)
5.1 Промежутки возрастания	(-π/2+π n; π/2+π n)	Нет
5.2 Промежутки убывания	Нет	(π n; π+π n)
6.1 Точки минимума	Нет	Нет
6.2 Точки максимума	Нет	Нет

 

Задания для самостоятельного решения:

№1. Построить схематически тангенсоиду на интервале (-3π/2; 3π/2). При построении:

1) отметить на оси абсцисс точки, соответствующие числам:

-1,5π; -π; -0,5π; 0,5π; π; 1,5π (за единицу масштаба принять отрезок, равный 1 см);

2) через точки (-1,5π; 0); (-0,5π; 0); (0,5π; 0) и (1,5π; 0) провести (пунктиром) прямые, параллельные оси ординат;

3) отметить точки тангенсоиды с ординатами ±1;

4) вычертить (от руки) тангенсоиду.

№2. Пользуясь схематическим графиком функции у =tg x выполнить следующие упражнения:

1) Указать интервалы, в которых функция принимает: а) положительные значения; б) отрицательные значения.

2) Определить, при каких значениях х на интервале (-3π/2; 3π/2) функция у =tg x: а) убывает; б) возрастает; в) принимает значение, равное нулю; г) теряет смысл.

Выразить формулой множество таких значений х, при которых у =tg x теряет смысл.

3) Убедиться, что каждому допустимому значению аргумента х соответствует только одно значение функции.

4) Проиллюстрировать на графике, что функция у =tg x есть периодическая функция с периодом π, т. е. tg(x +π k)=tg x.

5) Показать, что каждому значению функции у соответствует бесчисленное множество определенных значений аргумента х.

6) Решить неравенства: a) tg x >-1; б) | tg x |<1.

№3. Построить на одном чертеже графики функций: у=х; у =sin х и у =tg х, если 0< х <π/2. Пользуясь чертежом, проиллюстрировать неравенство sin x < х <tg x.

Контрольные вопросы:

1. Какие функции называют тангенсом и котангенсом?

2. Что является графиком функций тангенс и котангенс?

3. Перечислите свойства функций тангенс и котангенс.