Монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- определения возрастающей (убывающей) функции;

- определения точки максимума (минимума) функции;

уметь:

- находить промежутки монотонности функции;

- вычислять точки экстремума функции.

 

Сведения из теории:

Возрастание и убывание функций

Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х ₁ и х ₂ из множества Р, таких, что х ₂> х ₁, выполнено неравенство f (x ₂)> f (x ₁).

Функция f убывает на множестве Р, если для любых х ₁ и х ₂ из множества Р, таких, что х ₂> х ₁, выполнено неравенство f (x ₂)< f (x ₁).

Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует меньшее значение функции.

Пример 1. Докажите, что функция f (x)=1/ x является убывающей.

Решение: область определения функции: (-∞; 0) и (0; +∞). Рассмотрим поведение функции на каждом интервале: (-∞; 0): х ₁=-8, х ₂=-4, т.е. х ₂> х ₁, тогда f (- 8)=-0,125, f (-4)=-0,25, т.е f (x ₂)< f (x ₁), а значит функция f (x)=1/ x является убывающей на интервале (-∞; 0). (0; +∞): х ₁=4, х ₂=8, т.е. х ₂> х ₁, тогда f (4)=0, 25, f (8)=0,125, т.е. f (x ₂)< f (x ₁), а значит функция f (x)=1/ x является убывающей на интервале (0; +∞). Однако эта функция не является убывающей на объединении этих промежутков. Например, 1>-1, но f (1)< f (-1). При исследовании функций на возрастание и убывание принято указывать промежутки возрастания и убывания максимальной длины, включая концы (если, конечно, они входят в эти промежутки). Так, можно было сказать, что функция f (x)=1/ x является убывающей на отрезке [2; 500]. Это верно, но такой ответ неполон. При исследовании поведения функции вблизи некоторой точки удобно пользоваться понятием окрестности.

Окрестностьюточки а называется любой интервал, содержащий эту точку. Например, интервал (2; 6) – одна из окрестностей точки 3, интервал (-3,3; -2,7) – окрестность точки -3.

Экстремумы

Точка х ₀ называется точкой минимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х ₀ выполнено неравенство f (x)≥ f (x ₀).

Точка х ₀ называется точкой максимума функции f, если для всех х из некоторой окрестности х ₀ выполнено неравенство f (x)≤ f (x ₀).

По определениям значение функции f в точке максимума х ₀ является наибольшим среди значений функции из некоторой окрестности этой точки, поэтому график функции в окрестности х ₀, как правило, имеет вид гладкого «холма» или заостренного «пика». В окрестности точки минимума графики, как правило, изображаются в виде «впадины», тоже или гладкой или заостренной.

Для точек максимума и минимума функции принято общее название – их называют точками экстремума. Значение функции в этих точках называют соответственно максимумами и минимумами функции (общее название – экстремум функции). Точки максимума обозначают x _max, а точки минимума x _min. Значения функции в этих точках обозначаются соответственно y _max, y _min.

Пример 2. Начертите эскиз графика функции f, если известно, что f возрастает на промежутке (-∞; 2] и убывает на промежутке [2; +∞). Какой будет точка х =2?

Решение: схематично график можно изобразить в виде:

График имеет вид гладкого «холма», а значит точка х =2 – точка максимума.

Задания для самостоятельного решения:

Начертите эскиз графика функции f, определите вид точек, если:

1 вариант f возрастает на промежутке (-∞; 2] и убывает на промежутке [2; +∞).	2 вариант f возрастает на промежутках (-∞; -2] и [0; 3], убывает на промежутке [2; 0].	3 вариант f возрастает на промежутке [1; 4] и убывает на промежутках (-∞; 1] и [4; +∞).
4 вариант f возрастает на промежутках (-∞; -5] и [1; 5], убывает на промежутках [-5; 1] [5; +∞).	5 вариант f возрастает на промежутке (-∞; 5] и убывает на промежутке [5; +∞).	6 вариант f возрастает на промежутке (-∞; 0] и убывает на промежутке [0; +∞).
7 вариант f возрастает на промежутке [-1; 2] и убывает на промежутках (-∞; -1] и [2; +∞).	8 вариант f возрастает на промежутках (-∞; -4] и [2; 4], убывает на промежутках [-4; 2] [4; +∞).	9 вариант f возрастает на промежутках (-∞; -3] и [2; 5], убывает на промежутках [-3; 2] [5; +∞).

Контрольные вопросы:

1. Какая функция называется возрастающей (убывающей) на некотором промежутке?

2. Дайте определение точке максимума (минимума) функции.

 

Практическое занятие

Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях. Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция). Понятие о непрерывности функции

Цель работы:

обучающийся должен:

знать:

- графики элементарных функций;

уметь:

- строить график функции как композицию двух функции.

 

Сведения из теории:

Построение графика суммы (произведения) двух функций производится сложением (умножением) ординат точек графиков с одинаковыми абсциссами.

Пример 1. Пусть даны графики функций y = x и y= sin x. Построить y = x +sin x и y = x sin x, являющихся соответственно суммой и произведением заданных графиков.

Решение: графики функций y = x +sin x и y = x sin x:

 

Пусть известен график y = f (x) и нужно построить график функции y =| f (x)|. По определению,

Значит, часть графика, лежащую в верхней координатной полуплоскости, изменять не надо, а часть графика, лежащую в нижней координатной полуплоскости, нужно отобразить симметрично относительно оси O х.

Пусть известен график y = f (x) и нужно построить график функции y=f (| x |). Заметим, что при x ≥0 f (| x |)= f (x), а функция y = f (| x |) четная. Поэтому, чтобы построить график функции y = f (| x |), нужно часть графика функции y = f (x), лежащую в левой координатной полуплоскости, отбросить, а часть графика, лежащую в правой координатной полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси O у.

Задания для самостоятельного решения:

Построить графики функций:

1 вариант 1) y = x +соs x; 2) у =| x ^2+2 x +3|.	2 вариант 1) y = x соs x; 2) у =| x ^2-4 x |.	3 вариант 1) y = x +tg x; 2) у =| x ^2-6 x|.
4 вариант 1) y = x tg x; 2) .	5 вариант 1) y = x+ ctg x; 2) .	6 вариант 1) y = x ctg x; 2) .
7 вариант 1) y =- x +sin x; 2) .	8 вариант 1) y =- x sin x; 2) .	9 вариант 1) y =- x +cos x; 2) .

Контрольные вопросы:

1. Как построить сумму (произведение) двух функций?

2. Как построить модуль функции, модуль аргумента?

Практическое занятие

Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции

Вариант 1	Вариант 2
1. Найдите область определения функции.	1. Найдите область определения функции.
2.Найдите обратную функцию к заданной функции у=2х+5	2.Найдите обратную функцию к заданной функции у=6-2х
3. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=sin	3. Найдите наименьший положительный период функции f(x)=tg(1-3x)

 

Практическое занятие

Примеры зависимостей между переменными в реальных процессах из смежных дисциплин. Определение функций.