Метод подведения под знак дифференциала

 

Предположим, что подынтегральное выражение удалось представить в виде  (это преобразование называется подведением функции  под знак дифференциала d). Тогда

 

,                          

 

где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную   u  на функцию . Интеграл, получившийся в результате такого преобразования, может оказаться «проще» исходного, например, табличным.

Для определенного интеграла формула имеет вид

,                                

где , . Таким образом, при замене переменных в определенном интеграле меняются пределы интегрирования, зато не надо после интегрирования возвращаться к прежней переменной.

 

Метод подстановки

 

Пусть функция  дифференцируема и имеет дифференцируемую обратную . Тогда

 

,                                   

 

где после вычисления интеграла, стоящего в правой части этой формулы, надо заменить переменную t на функцию .

При удачном выборе подстановки  интеграл, стоящий в правой части формулы, может оказаться «проще» исходного.

Для определенного интеграла соответствующая формула имеет вид

 

,                                

 

где , а .

 

Примеры решения задач

 

Далее знак  будет означать ссылку на табличный интеграл с номером N.

2.2.1. Вычислить .

◄ Перепишем интеграл в виде . Под знаком интеграла стоит степень функции , поэтому удобно подвести  под знак дифференциала:

. ►

2.2.2. Вычислить .

◄ Подведём под знак дифференциала : так как дифференциал ,  то  Поэтому

.

2.2.3. Вычислить .

◄ Так как   и . ►

2.2.4. Вычислить .

◄ Так как , то . ►

2.2.5. Вычислить .

◄ Так как , то . Тогда

. ►

2.2.6. Вычислить .

◄ Подведём под знак дифференциала :

. ►

2.2.7. Вычислить .

◄ Так как , то , тогда

. ►

2.2.8. Вычислить .

◄ Так как , то

. ►

2.2.9. Вычислить .

◄ . ►

2.2.10. Вычислить .

◄ . ►

2.2.11. Вычислить .

◄

. ►

2.2.12. Вычислить .

◄ . ►

2.2.13. Вычислить .

◄ Так как интеграл определенный, то будем пользоваться вариантом формулы подведения под дифференциал.

. ►

2.2.14. Вычислить .

◄

. ►

2.2.15. Вычислить .

◄ Будем пользоваться формулой замены переменных в форме подстановки. Обозначим . Тогда ,  и

. ►

2.2.16. Вычислить .

◄ Так как интеграл определенный, то воспользуемся формулой замены переменных. Обозначим . Тогда  при ,  при , , , и

. ►

 

Интегрирование по частям

Сведения из теории

 

Если ,  – функции, имеющие непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула интегрирования по частям для неопределенного интеграла

 

,

или в краткой записи

 

,                                      

 

а также формула интегрирования по частям для определенного интеграла

или в краткой записи

.                              

 

Примеры решения задач

3.2.1. Вычислить .

◄ Положим .  Тогда ,

 (постоянную C  здесь считаем равной 0). По формуле интегрирования по частям имеем:

 

. ►

3.2.2. Вычислить .

◄

К стоящему справа интегралу снова применим формулу интегрирования по частям.

. ►

3.2.3. Вычислить .

◄

. ►

3.2.4. Вычислить .

◄ Выполним замену переменной . Тогда ,   и интеграл примет вид

. ►

3.2.5. Вычислить .

◄ Используем формулу (3.2) интегрирования по частям для определенного интеграла.

. ►

3.2.6. Вычислить .

◄

. ►

 

 

ПРОСТЕЙШИЕ ИНТЕГРАЛЫ,