Основные разложения в ряд Тейлора

 

 

 

61. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа и Коши.

Остаточный член в форме Коши

 

Теорема 2. Остаточный член  разложения функции по формуле Тейлора является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с  при : Иначе говоря, Доказательство. Выражение под знаком предела в последнем уравнении представляет собой неопределенность вида  для раскрытия которой можно использовать правило Лопиталя: Повторно применяя правило Лопиталя, получаем цепочку равенств, приводящих к доказываемому утверждению: Остаточный член в форме Лагранжа

Для контроля погрешности вычислений, основанных на использовании формулы Тейлора, полезно располагать различными формами представления остаточного члена, наиболее употребительной из которых является форма Лагранжа,

(1)

где c – некоторая точка, расположенная между x и .

 

   Если , то

при .

 

   Чем меньше величина , тем быстрее  убывает с ростом n. Это означает, что точность аппроксимации функции  многочленом

возрастает при малых значениях  и с увеличением n.

   Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет следующий вид:

Частным случаем этой формулы при n = 0 является теорема Лагранжа:

Для доказательства формулы (1) рассмотрим вспомогательную функцию

(2)

где . (Если , то полагаем, что ).

   Отметим, что

Дифференцируя обе части равенства (2) по переменной z, получим

 

 

 

   Введем функцию  где .

   Функции  и  удовлетворяют условиям теоремы Коши и, следовательно, существует такая точка , что

Учитывая, что

 

получим

 

 

 

62. Обобщённая теорема о среднем

 

 

 

 

Раскрытие неопределённостей. Правило Лопиталя.

 

Исследование функций с помощью первой производной. Признак монотонности.

 

Необходимое условие существования экстремума. Достаточное условие существования экстремума по первой производной.

Экстремумом функции называется максимальное (минимальное) значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум называется точкой экстремума.

Точка  называется точкой локального максимума функции , если выполняется условие:

Аналогично точка  называется точкой локального минимума функции  , если выполняется условие:

Точки, в которых производная равна нулю, называются стационарными точками.

Точки, в которых функция непрерывна, а её производная либо равна нулю, либо не существует, называются критическими точками.

Теорема (необходимое условие экстремума)

Если точка  — точка экстремума функции , то она критическая.

Доказательство

По условию точка  — точка экстремума функции  по теореме Фермапроизводная  точка  является критической.