Бесконечный предел последовательности

(всё то же, что и в случае конечного предела. Не будут справедливы теоремы 2-4 выше. В этом случае подразумевается, что последовательность ограничена в условиях бесконечного предела. Звучит и является бредом, однако без условий ограниченности невозможно говорить о существовании предела)

 

Бесконечно большие последовательности, бесконечно малые последовательности.

Свойства пределов связанных с арифметическими операциями над последовательностями.

15. Теоремы об ограниченности обратной последовательности, о связи между пределами сходящейся и бесконечно малой последовательностей. [1]

Теорема (это ко второй части билета)

Пусть {a_n} — сходящаяся последовательность и  Тогда a_n = A + α_n, где α_n — б.м.п.

 

Доказательство

Пусть α_n = a_n − A. Тогда ∀ ε > 0 ∃ n_ε: ∀ n > n_ε → |α_n| = |a_n − A| < ε.

 

(суть какая: берем сходящуюся(то есть последовательность, у которой есть предел А) и из нее делаем новую альфа-последовательность через a_n = A + α_n это и будет связь между бмп и сходящейся(в доказательстве просто говорим, что для любой окрестности мы получим альфа-последовательность, лежащую в этой окрестности))

 

 

 

16. Свойства бесконечно малых последовательностей. Связь бесконечно малой с бесконечно большой последовательностью.

17. Теоремы об умножении сходящихся последовательностей и о делении сходящихся последовательностей.

18. Оценочный признак существования предела. Переход к пределу в неравенствах.

 18. Оценочный признак существования предела. Переход к пределу в неравенствах.

Признаки существования предела:

Теорема(о двух милиционерах)

Если функция y=f(x) в некоторой окрестности точки а заключена между двумя функциями и, т.е. выполняется неравенство "х, причем эти функции имеют одинаковый предел при, то существует предел функции y=f(x) при, равный этому же значению.      

Переход к пределу в неравенствах.

Арифметические операции над сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте покажем, что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие неравенства для пределов этих последовательностей.

Теорема. Если элементы сходящейся последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b (x_n≤ b), то и предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a ≥ b (a ≤ b).

Доказательство. Пусть все элементы x_n, по крайней мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≥ b. Требуется доказать неравенство a ≥ b. Предположим, что a < b. Поскольку a - предел последовательности {x_n}, то для положительного ε = b - a можно указать номер N такой, что при n ≥ N выполняется неравенство |x_n - a| < b - a. Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам: -(b - a) < x_n - a < b - a. Используя правое из этих неравенств, получим x_n < b, а это противоречит условию теоремы. Случай x_n ≤ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.

Замечание. Элементы сходящейся последовательности {x_n} могут удовлетворять строгому неравенству x_n > b, однако при этом предел a может оказаться равным b. Например, если, то x_n > 0, однако.

Следствие 1. Если элементы x_n и y_n сходящихся последовательностей {x_n} и {y_n}, начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству x_n ≤ y_n, то их пределы удовлетворяют такому же неравенству:

В самом деле, элементы последовательности {y_n - x_n} неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел. Отсюда следует, что

Следствие 2. Если все элементы сходящейся последовательности {x_n} находятся на сегменте [a, b], то и ее предел c также находится на этом сегменте.

В самом деле, так как a ≤ x_n ≤ b, то a ≤ c ≤ b.

Следующая теорема играет важную роль в различных приложениях.

Теорема. Пусть {x_n} и {z_n} - сходящиеся последовательности, имеющие общий предел a. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности {y_n} удовлетворяют неравенствам x_n ≤ y_n ≤ z_n. Тогда последовательность {y_n} сходится и имеет предел a.

Доказательство. Нам достаточно доказать, что последовательность {y_n - a} является бесконечно малой. Обозначим через N^* номер, начиная с которого выполняются неравенства, указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера, будут выполняться также неравенства x_n - a ≤ y_n - a ≤ z_n - a. Отсюда следует, что при n ≥ N^* элементы последовательности {y_n - a} удовлетворяют неравенству

|y_n - a| ≤ max {|x_n - a|, |z_n - a|}.

Так как и, то для любого ε > 0 можно указать номера N₁ и N₂ такие, что при n ≥ N₁ |x_n - a| < ε, а при n ≥ N₂ |z_n - a| < ε. Пусть N = max{N^*, N₁, N₂}. Начиная с этого номера, имеет место неравенство |y_n - a| < ε. Итак, последовательность {y_n - a} - бесконечно малая. Теорема доказана.

 

 

19. Предел монотонной последовательности. Неперово число (число е).