Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный     предел.

 Для функции f(x), имеющей (конечный) предел при x → x₀ существует проколотая окрестность этой точки, на которой данная функция ограничена.

Доказательство.

 Пусть

Тогда для положительного числа 1 найдется δ > 0 такое, что при 0 < |x — x0| <δ выполняется неравенство |f (x) — a| < 1. Отсюда

|f(x)| = |f(x) — a + a| ≤|f(x) — a| + |a| < 1 + |a|, т.е. |f(x)| < 1 + |a|,

и мы видим, что f (x) ограничена в проколотой δ-окрестности (x₀ — δ, x₀) U (x₀, x₀ + δ) точки x₀. Теорема доказана.

 

 

 

Теорема о сохранение неравенств. Теорема о необходимом условии существования конечного предела последовательности.Бесконечный предел последовательности, бесконечно большие последовательности, бесконечно малые последовательности.

Предельный переход в неравенствах

  Теорема 1. Если функция имеет предел при , равный А и в некоторой проколотой окрестности  точки a принимает неотрицательные значения, то .

Доказательство. Будем доказывать методом от противного.

Допустим, что . Возьмем . Тогда

откуда

Получаем, что для любого из пересечения проколотых окрестностей и одновременно выполняются неравенства и . Тем самым мы пришли к противоречию. Теорема доказана.

 

  Теорема 2. Если для двух функций  и , имеющих пределы, соответственно, и , в некоторой проколотой окрестности  выполняется неравенство , то .

Доказательство. Обозначим . При этом для любого выполнено неравенство . По теореме 3.4.1 имеем , т.е. . Теорема доказана.

Замечание: Эти две теоремы означают, что при переходе к пределу сохраняется нестрогое неравенство.

Замечание: строгое неравенство между функциями может не сохраниться для пределов этих функций. Например, для функций ,  в любой  выполняется неравенство , т.е. . Однако,

 

Теорема о необходимом условии существования конечного предела последовательности

Теорема 3 (о локальной ограниченности). Для существования конечного предела функции в точке необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) функция была ограничена.

Теорема 4 (о локальном повторении функцией свойств предела). Для существования в точке конечного предела необходимо, чтобы в некоторой окрестности этой точки (за исключением самой точки) .

Достаточные условия существования конечного предела функции.

Теорема 5 (об арифметике). Если для и существуют конечные пределы, то для их суммы и произведения также существуют конечные пределы, причем:

;

.

Если , то существует конечный предел частного:

.

(если нужно доказательство теоремы 5: https://studfiles.net/preview/3103010/)