Эмпирическое корреляционное отношение (ЭКО)

Эмпирическое корреляционное отношение

- применяется для оценки тесноты связи между количественными признаками, а также, если количественным является только один из пары признаков;

- измеряет тесноту связи любого вида (прямолинейная, параболическая, гиперболическая и т.п.);

- при интерпретации числовых значений следует учитывать вариант разбиения на интервалы диапазона значений признака;

- диапазон изменения показателя [0;+1];

- чем ближе значение показателя к 1, тем теснее связь между признаками.

Эмпирическое корреляционное отношение находится по формулам:  (11.10),  (12.11), (12.12),

где m – число групп по факторному признаку х;

k – число групп по результативному признаку у;

 – средние значения результативного признака по группам;

 – общее среднее значение результативного признака;

 – индивидуальные значения результативного признака;

 – частота в j -й группе х;

 – частота в i -й группе у.

Рассчитаем это отношение для нашего примера (таблица 12.2):

=(5*3+10*9+15*21+20*7)/40=14

=6,19599;

=16,5;          =0,613.

Полученное значение =0,613 позволяет утверждать, что существует заметная связь между стажем работы и производительностью труда.

 

Коэффициент детерминации

Измерить тесноту связи между коррелируемыми величинами – значит определить, насколько вариация результативного признака обусловлена вариацией факторного (факторных) признака. Ранее были рассмотрены показатели, с помощью которых можно выявить наличие корреляционной связи между двумя признаками x и y и измерить тесноту этой связи. Наряду с ними существует универсальный показатель – корреляционное отношение, применимое ко всем случаям корреляционной зависимости независимо от формы этой связи. Следует различать эмпирическое и теоретическое корреляционное отношение. Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается на основе правила сложения дисперсий как корень квадратный из отношения межгрупповой дисперсии к общей дисперсии, т.е.

. (12.13)

Теоретическое корреляционное отношение определяется на основе выравненных (теоретических) значений результативного признака , рассчитанных по уравнению регрессии. Теоретическое корреляционное отношение  представляет собой относительную величину, получаемую в результате сравнения среднего квадратического отклонения в ряду теоретических значений результативного признака со средним квадратическим отклонением в ряду эмпирических значений. Если обозначить дисперсию эмпирического ряда игреков через , а теоретического ряда – , то каждая из них выразится формулами

,        .

Сравнивая вторую дисперсию с первой, получим теоретический коэффициент детерминации: , (12.14) который показывает, какую долю в общей дисперсии результативного признака занимает дисперсия, выражающая влияние вариации фактора x на вариацию y (или  показывает долю вариации результативного признака, обусловленную вариацией факторного признака).

 Извлекая корень квадратный из коэффициента детерминации, получаем теоретическое корреляционное отношение

. (12.15)

Оно может находиться в пределах от 0 до 1, чем ближе его значение к 1, тем теснее связь между вариацией y и x. Корреляционное отношение применимо как для парной, так и для множественной корреляции независимо от формы связи. В этом смысле его можно назвать универсальным показателем тесноты связи. При линейной зависимости .

       Покажем расчет  на условном примере. Исходные данные и расчет дополнительных показателей приведен в таблице 12.4.

Таблица 12.4. Исходные данные и вспомогательные расчеты для нахождения теоретического корреляционного отношения

В данном примере общая средняя урожайность:  (ц/га).

Общая дисперсия: =30/5=6,

факторная дисперсия: =29,46/5=5,892.

Отсюда теоретическое корреляционное отношение: =0,99. Данное значение характеризует очень тесную зависимость изменения урожайности от изменения количества внесенных удобрений. В нашем примере незначительные расхождения (30 29,46+0,46 – это правило сложения дисперсий) объясняются округлением значений параметров уравнения регрессии и самих .