Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы

Пусть матрица А квадратичной формы имеет вид

,

где , .

Определение10. Определители ,называются угловыми или главными минорами матрицы А.

Теорема 5 (критерий Сильвестра).

1.Для того чтобы квадратичная форма   была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ее матрицы А были положительными, т.е. > 0,  > 0, …, > 0.

2.Для того чтобы квадратичная форма  была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки последовательных угловых миноров ее матрицы А чередовались, начиная со знака минус, т.е. < 0,  > 0, < 0, …

Определение11. Симметрическая матрица А называется положительно определенной, если квадратичная форма  положительно определенная.

Решение типовых примеров и задач

1. Записать квадратичную форму  в матричном виде.

Решение. Квадратичная форма   в матричном виде записывается как

,

где , А – матрица квадратичной формы.

Составим матрицу А квадратичной формы. Диагональные элементы данной матрицы равны коэффициентам при квадратах переменных, т.е. 2, -5, 8; а другие элементы - половинам соответствующих коэффициентов квадратичной формы. Следовательно, .

В результате получим

.

 

2. Дана квадратичная форма Найти квадратичную форму , полученную из данной линейным преобразованием

Решение. Матрица А данной квадратичной формы  имеет вид , а матрица Р соответствующего линейного преобразования определяется как .

Следовательно, матрица В искомой квадратичной формы  имеет вид

 

.

Тогда

 

3. Привести квадратичную форму к каноническому виду: а) методом Лагранжа;

б) ортогональным преобразованием.

Решение. а) Коэффициент при  отличен от нуля (равен 3). Сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

 

Далее сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

 

Введем следующие обозначения:

Тогда получим следующий канонический вид исходной квадратичной формы:

                                                                             (5)

б)Составим матрицу данной квадратичной формы:

.

Найдем ее собственные значения. Характеристическое уравнение имеет вид

Оно имеет корни l₁=-2, l_2,3=4. Это позволяет сразу написать канонический вид квадратичной формы:

                                                                                 (6)

Отметим, что как канонический вид (5) квадратичной формы, полученный методом Лагранжа, так и канонический вид (6), полученный ортогональным преобразованием, содержит два положительных канонических коэффициента и один отрицательный коэффициент, что соответствует закону инерции квадратичных форм.

 

4. Методом Лагранжа привести к каноническому виду квадратичную форму

Решение. В данной квадратичной форме отсутствуют члены с квадратами переменных, но есть, например, член  Поэтому совершим сначала невырожденное преобразование переменных

 , ,

В результате получим

В последнем выражении коэффициент при  отличен от нуля. Сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

Далее сгруппируем все члены, содержащие , и дополним их до полного квадрата:

=

Введем следующие обозначения:

Тогда получим следующий канонический вид исходной квадратичной формы:

 

5. Исследовать на знакоопределенность следующие квадратичные формы:

а)

б)

в)

г)

Решение .а) Исследуем данную квадратичную форму на знакоопределенность двумя способами: на основании теоремы 4 и критерия Сильвестра.

1 способ. Составим матрицу А квадратичной формы:

 .

Найдем ее собственные значения (см. пр. зан. №14): . Так как все собственные значения   матрицы А квадратичной формы положительные, то квадратичная форма  является положительно определенной.

2 способ. Найдем угловые миноры матрицы А: > 0; > 0; > 0

Так как все угловые миноры матрицы А положительные, то по критерию Сильвестра квадратичная форма  является положительно определенной.

Квадратичные формы б) – г) будем исследовать на знакоопределенность с использованием Критерия Сильвестра.

б) Матрица А квадратичной формы имеет вид .

Найдем угловые миноры матрицы А: < 0; >0;  < 0.

Так как знаки угловых миноров матрицы А чередуются, начиная с «-», то по критерию Сильвестра квадратичная форма  является отрицательно определенной.

в)  Матрица А квадратичной формы имеет вид Найдем угловые миноры матрицы А:

 > 0,  < 0.

Так как знаки угловых миноров матрицы А чередуются, начиная со знака «+», то по критерию Сильвестра квадратичная форма   не является знакоопределенной.

г) Матрица А квадратичной формы имеет вид Найдем угловые миноры матрицы А:

>0,

Данная квадратичная форма не является знакоопределенной в силу того, что

 

6. Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма

является положительно определенной.

Решение. Матрица А квадратичной формы имеет вид

Найдем угловые миноры матрицы А: >0, > 0,   

Согласно критерия Сильвестра данная квадратичная форма   является положительно определенной, если >0, т.е. >0 > 1.

Практическое занятие №15

Линейные модели обмена

Цель: рассмотреть применение аппарата линейной алгебры для анализа микроэкономических моделей на примере простой модели обмена и модели международной торговли.

Литература

[1]/ глава 3, § 3.9.                                                       [3]/ глава 16, §16.3.

[2]/ глава 5, § 4.                                                          [5]/ глава 3, § 3.5.

                                      [19]/ глава 3, § 3.6.

 

Справочный материал

Простая модель обмена

Пусть имеется система n отраслей производства , каждая из которых выпускает продукцию одного вида. Примем за единицу объем продукции каждой отрасли в рассматриваемом периоде. Обозначим через  долю продукции отрасли , которая поступает в отрасль . Будем считать, что обмен продукцией происходит только внутри системы (система замкнута), т.е.

                                                                                            (1)

Рассмотрим матрицу коэффициентов :

где  

Матрица А со свойством (1), в силу которого сумма элементов ее любого столбца равна единице, называется матрицей обмена.

Требуется установить такие цены на продукцию каждой отрасли, при которых вся система находится в равновесии, т.е. ни одна отрасль не обогащается за счет другой.

Пусть  - цена одной единицы продукции отрасли , а x - вектор цен. Тогда расход отрасли , т.е. стоимость всей закупаемой ею продукции, определяется как

Чтобы отрасль  могла развиваться, ее расход  не должен превышать дохода, который равен стоимости произведенной ею продукции, т.е. :

                                                                                             (2)

Если искомые равновесные цены существуют, то система неравенств (2) выполняется для них как система равенств:

                                                            (3)

Если вектор цен х представить в виде матрицы , то систему (3) можно записать в матричной форме        

                                                                                                           (4)

Матричное уравнение (4) означает, что собственный вектор матрицы обмена А, отвечающий ее собственному значению , представляет собой искомый вектор равновесных цен.

Уравнение (4) можно переписать в виде, позволяющем определить Х:

.