Определители их свойства и операции над ними

1. Определители второго порядка. Если дана квадратная матрица 2-го порядка  то есть ее определителем (или просто определителем 2-го порядка) называется число .

Определитель матрицы (1) обозначают:

Например

Пусть известна матрица . Найдем ее определитель

2. Определители третьего порядка. Если дана квадратная матрица 3-го порядка . То определитель матрицы находят по правилу треугольника:

Например

Пусть известна матрица . Найдем ее определитель

3. Определители произвольного порядка п. Каждой квадратной матрице А порядка п мы сопоставляем некоторое число, которое называем определителем этой матрицы и обозначаем  

Для определения числа  воспользуемся индукцией по п:

1. При п = 1 матрица А состоит из единственного числа и поэтому ;

2. Пусть для матриц порядка- п — 1 определитель уже определен. Тогда для матрицы А порядка п определитель равен , где сумма распространяется на все элементы матрицы А.

Определители матриц, имеющих порядок п, называются определителями п-го порядка. Элементы матрицы А называются также элементами ее определителя. Соответственно этому говорят, что определитель составлен из элементов . Строки и столбцу матрицы А мы будем также называть строками и столбцами определителя |А|.

Определитель , полученный вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых находится элемент   данного определителя, называется минором элемента   в данном определителе.

Число  называется алгебраическим дополнением элемента   в данном определителе и обозначается

Следовательно

Например

Пусть дана матрица . Найдем ее определитель

Преобразуем первую строку таким образом, чтобы все элементы кроме первого были равны 0 (первый столбец*3 - третий столбец; первый столбец*2 - четвертый столбец; первый столбец - пятый столбец)

Найдем определитель, разложенный по первой строке и первому столбцу

Преобразуем третью строку таким образом, чтобы все элементы кроме первого были равны 0 (первый столбец*4 - второй столбец; первый столбец - третий столбец; первый столбец + четвертый столбец)

Найдем определитель, разложенный по третьей строке и первому столбцу

Преобразуем вторую строку таким образом, чтобы все элементы кроме третьего были равны 0 (третий столбец*10 + третий столбец; третий столбец*4 + второй столбец)

Найдем определитель, разложенный по второй строке и третьему столбцу

 

Свойства определителей

Свойство 1. При умножении всех элементов какой-либо строки (столбца) определителя на некоторое число определитель умножается на это число.

Свойство 2. Определитель  со строками (столбцами) равен сумме определителей  и  соответственно со строками (столбцами)

Свойство 3. Определитель, содержащий нулевую строку (нулевой столбец), равен нулю.

Свойство 4. Перестановка двух строк (столбцов) определителя умножает его на ( —1).

Свойство 5. Определитель, содержащий две одинаковые строки (два одинаковых столбца), равен нулю.

Свойство 6. Определитель не меняется при любом строчном (столбцовом) преобразовании.

Свойство 7. Определитель не изменится, если его строки заменить столбцами, не меняя их порядка. Отметим, что операция перехода от  к  называется транспонированием. Таким образом, содержание свойства 7 можно выразить словами: определитель не меняет своего значения при транспонировании.

 

Например

Определим обратную матрицу

Для определения обратной матрицы также можно воспользоваться методом определителей

Найдем алгебраические дополнения

Так как

 Следовательно, обратная матрица составляет

Ответ: