Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Из теоремы Абеля следует, что если  есть точка сходимости степенного ряда, то интервал (-| |;| |) весь состоит из точек сходимости данного ряда при всех значениях х, а вне этого интервала ряд расходится. Положив | |=R, интервал можно записать в виде (-R;R). Этот интервал называется интервалом сходимости. Число R называют радиусом сходимости, т.е. R>0 – это такое число, что при всех х, для которых |x|<R ряд абсолютно сходится, а при |x|>R ряд расходится.

В частности, когда ряд сходится лишь в одной точке , то R=0, если же ряд сходится при всех значениях , то R=∞. Сходимость ряда на концах интервала сходимости при  проверяют отдельно.

Радиус сходимости можно найти по формуле, которая следует из признака Даламбера:

(14.8)

Используя радикальный признак Коши, можно установить, что

(14.9)

 

Замечания:

1) Если , то ряд абсолютно сходится на всей числовой оси. В этом случае R=∞. Если , то R=0.

2) Интервал сходимости степенного ряда (14.7) находят из неравенства .

3) Если степенной ряд содержит не все степени х, т.е. задан неполный степенной ряд, то интервал сходимости находят без определения радиуса сходимости, а непосредственно применяют признак Даламбера (или Коши) для ряда, составленного из модулей исходного ряда.

Пример 2.2. Найти область сходимости ряда:

Решение: , т.е. ряд абсолютно сходится на всей числовой оси.

Пример 2.2. Найти область сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала сходимости:

Решение: Ряд неполный, поэтому используем признак Даламбера:

;

 По признаку Даламбера ряд абсолютно сходится при l<1, т.е. .

Исследуем сходимость ряда на концах полученного интервала сходимости.

При х=-1 имеем ряд -1+1/3-1/5+1/7-1/9+… Этот ряд сходится по признаку Лейбница.

При х=1 имеем ряд 1-1/3+1/5-1/7+… Этот ряд также сходится по признаку Лейбница.

Следовательно, область сходимости ряда [-1;1].

 

Лекция 15

 Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Тейлора и Маклорена

Для любой функции f(x), определенной в окрестности точки  и имеющей в ней производные до (n+1)-го порядка включительно, справедлива формула Тейлора:

(15.1)

где      (15.2) – остаточный член в форме Лагранжа. Число с можно записать в виде .

Формулу (15.1) можно записать в виде:

(15.3),

где      (15.4) – многочлен Тейлора.

Если функция имеет производные любых порядков (т.е. бесконечно дифференцируема) в окрестности точки  и остаточный член  (), то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням  , которое называется рядом Тейлора:

(15.5)

Если в ряде Тейлора положить , то получим разложение функции f(x) по степеням х в ряд Маклорена:

(15.6)

Отметим, что ряд Тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки . Но отсюда еще не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x): он может оказаться расходящимся или сходиться, но не к функции f(x). Так например, функция  имеет в точке х=0 производные всех порядков при всяком n. Ряд Маклорена имеет вид:

Ряд сходится, но его сумма равна 0, а не f(x).

Теорема. Для того, чтобы ряд Тейлора (3.5) сходился к f(x) в точке , необходимо и достаточно, чтобы в этой точке остаточный член формулы (15.1) стремился к нулю при n→∞, т.е. .

Замечание: Если ряд Тейлора (15.5) сходится к порождающей его функции f(x), то остаточный член формулы Тейлора (15.1) равен остатку ряда Тейлора, т.е.  (напомним, что , а , где S(x) – сумма ряда Тейлора).