Теорема 2. Предельный признак сравнения.

Пусть даны два знакоположительных ряда (1) и (2). Если существует конечный, не равный нулю, предел , то ряды (1) и (2)сходятся или расходятся одновременно.

Пример 2. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Сравним данный ряд с рядом геометрической прогрессии . Этот ряд сходится, т.к. q=1/2<1. Мы имеем . Следовательно, по теореме 1 исходный ряд сходится.

Пример 3. Исследовать сходимость ряда:

Решение. Сравним данный ряд с гармоническим расходящимся рядом.

Мы имеем . Следовательно, исходный ряд расходится.

Ряд, с которым сравнивают исследуемый ряд, называется эталонным.

В качестве эталонных рядов используются:

1) гармонический ряд  Он расходится.

2) обобщенный гармонический ряд . При α>1 ряд сходится, а при  - расходится.

3) Геометрический ряд . Ряд сходится при |q|<1, и расходится при .

Замечания:

a) при решении примеров иногда требуется отбросить несколько членов ряда, если сначала есть отрицательные члены, а затем ряд знакоположительный. По третьему свойству это не влияет на сходимость ряда.

b) Если общий член ряда представляет собой отношение двух многочленов, то при подборе эталонного обобщенного гармонического ряда значение α выбирают равным разности наибольших показателей степеней знаменателя и числителя.

II. Признак Даламбера

Теорема. Пусть дан ряд (13.1)с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.

Замечания:

а) если l=1, то ряд (13.1) может быть как сходящимся, так и расходящимся;

б) признак Даламбера целесообразно применять, когда общий член ряда содержит выражения вида n! или аⁿ.

 

Пример 4. Исследовать сходимость ряда:

Решение:

 

Пример 5. Исследовать сходимость ряда:

Решение:

 

III. Радикальный признак Коши

Теорема. Пусть дан ряд (1) с положительными членами и существует конечный или бесконечный предел . Тогда ряд сходится при l<1 и расходится при l>1.

Пример 6. Исследовать сходимость ряда:

Решение:

IV. Интегральный признак Коши

Теорема. Если члены знакоположительного ряда (1) могут быть представлены как числовые значения некоторой монотонно убывающей на [1;+∞) функции f(х) так, что , то:

1) если  сходится, то сходится и ряд (1);

2) если  расходится, то расходится и ряд (1)

Замечание: Вместо  можно брать . Отбрасывание k первых членов ряда в ряде (1) не влияет на сходимость или расходимость ряда.

Пример 7. Исследовать сходимость ряда:

Решение: Функция  удовлетворяет условиям теоремы.

.

 

Лекция 14

 Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Знакочередующимся рядом называется ряд вида:

 (14.1).

.

Теорема. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда. Признак Лейбница.

Знакочередующийся ряд (14.1) сходится, если:

1. Последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ;

2. Общий член ряда стремится к нулю: .

При этом сумма S ряда (14.1) удовлетворяет неравенствам:

. (14.2)

Замечания:

1) Исследование знакочередующегося ряда вида  (с отрицательным первым членом) сводится к исследованию ряда (14.1) путем умножения всех его членов на «-1»;

2) Соотношение (14.2) позволяет получить простую и удобную оценку ошибки, которую мы допускаем, заменяя сумму S данного ряда его частичной суммой . Отброшенный ряд (остаток) представляет собой также знакочередующийся ряд , сумма которого по модулю меньше первого члена этого ряда, поэтому ошибка меньше чем модуль первого из отброшенных членов.