Задача на условный экстремум. Метод множителей Лагранжа

Пусть и —дважды непрерывно дифференцируемые скалярные функции векторного аргумента . Требуется найти экстремум функции при условии, что аргумент удовлетворяет системе ограничений:

(последнее условие называют также условием связи).

Наиболее простым методом нахождения условного экстремума является сведение задачи к нахождению безусловного экстремума путем разрешения уравнения связи относительно s переменных и последующей их подстановки в целевую функцию.

Возможно эта страница вам будет полезна:

Решение задач по ЭММ

Пример задачи №3

Найти экстремум функции , при условии .

Решение:

Из уравнения связи выразим через и подставим полученное выражение в функцию :

Эта функция имеет единственный экстремум (минимум) при . Соответственно, . Таким образом, точкой условного экстремума (минимума) заданной функции является точка .

В рассмотренном примере уравнение связи легко разрешимо относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях выразить переменные удается не всегда. Соответственно, описанный выше подход применим не ко всем задачам. Более универсальным методом решения задач отыскания условного экстремума является метод множителей Лагранжа. Он основан на применении следующей теоремы. Если точка является точкой экстремума функции в области, определяемой уравнениями , то (при некоторых дополнительных условиях) существует такой -мерный вектор , что точка является стационарной точкой функции

Алгорищм метода множителей Лагранжа

· Составить функцию Лагранжа:

где — множитель Лагранжа, соответствующий -му ограничению.

· Найти частные производные функции Лагранжа и приравнять их к нулю

· Решив получившуюся систему из уравнений, найти стационарные точки.

Заметим, что в стационарных точках выполняется необходимое, но не достаточное условие экстремума функции. Анализ стационарной точки на наличие в ней экстремума в данном случае достаточно сложен. Поэтому метод множителей Лагранжа в основном используют в тех случаях, когда о существовании минимума или максимума исследуемой функции заранее известно из геометрических или содержательных соображений.

При решении некоторых экономических задач множители Лагранжа имеют определенное смысловое содержание. Так, если — прибыль предприятия при плане производства товаров — издержки -го ресурса, то — оценка этого ресурса, характеризующая скорость изменения оптимума целевой функции в зависимости от изменения -го ресурса.

Пример задачи №4

Найти экстремумы функции

при условии

Решение:

Заметим, что функции

непрерывны и имеют непрерывные частные производные. Составим функцию Лагранжа:

Найдем частные производные и приравняем их к нулю.

Получаем две стационарные точки:

Принимая во внимание характер целевой функции, линиями уровня которой являются плоскости, и функции (эллипс) заключаем, что в точке функция принимает минимальное значение, а в точке максимальное.

В области решений системы

найти максимальное и минимальное значение функции

при условии

Решение:

Пересечением области допустимых решений и прямой

является отрезок . Поэтому экстремальные значения функция может принимать либо в стационарных точках, либо в точках и . Для нахождения стационарной точки применим метод Ла-гранжа. Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции Лагранжа и приравняем их к нулю

Решая систему, получаем стационарную точку . Сравним значения целевой функции в точках :

Следовательно,

Линейное программирование

Среди множества задач оптимизации особую роль в силу своей практической значимости играют задачи линейного программирования.

Пусть дана функция переменных . Необходимо найти наибольшее или наименьшее значение этой функции при условии, что аргумент :

Поставленная таким образом задача оптимизации называется задачей математического программирования. Множество называется множеством допустимых решений, а функция — целевой функцией или функцией цели. Допустимое решение , при котором функция принимает наибольшее (или наименьшее) значение, называется оптимальным решением задачи.

Если целевая функция является линейной, а множество задается с помощью системы линейных уравнений и неравенств, то задача (2.1) называется задачей линейного программирования (ЗЛП). Таким образом, общая постановка задачи линейного программирования такова: найти экстремум функции

при ограничениях:

В краткой записи задача линейного программирования имеет вид:

Говорят, что задача линейного программирования представлена в канонической форме, если ее ограничения заданы в виде уравнений

Если в задаче линейного программирования ограничения заданы в виде неравенств

то говорят, что задача представлена в симметричной форме записи.

Переход от симметричной формы задачи к канонической осуществляется путем введения в каждое неравенство системы ограничений балансовой переменной, в результате чего ограничения принимают вид уравнений. В целевую функцию балансовые переменные вводятся с нулевыми коэффициентами.

Для осуществления перехода от канонической формы к симметричной форме задачи систему ограничений разрешают относительно произвольного базиса и, отбросив в уравнениях базисные переменные, сводят систему ограничений к системе неравенств. Целевую функцию выражают через свободные переменные.